0為什么是一個自然數(shù)

　　在過去的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)字“0”一直不屬于自然數(shù)，但是現(xiàn)在已明確把“0”歸于自然數(shù)。為什么有這樣的變化?作為數(shù)學(xué)教師必須清楚。許多數(shù)學(xué)工作者都認為這僅僅是一個“規(guī)定”，用數(shù)學(xué)的行話講即“定義”，這就是說以前定義“1，2，3，…，n…”為自然數(shù)集，而現(xiàn)在則定義“0，1，2，3，…，n…”為自然數(shù)集。顯然這樣的解釋是不夠的，下面談?wù)劰P者的理解。

　　1?自然數(shù)的功能

　　自然數(shù)是人類最早認識并用之描述自然界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念。一開始它就有三個基本功能：一是基數(shù)功能，用來刻畫某一類事物的多少，用現(xiàn)代集合論的語言來說，就是描述有限集的基數(shù);二是序數(shù)功能，用來刻畫某一類事物的順序，用現(xiàn)代集合論的語言來說，就是描述有限集中元素的順序性質(zhì);第三個是運算功能，自然數(shù)可以做加法和乘法，這些運算用來描述自然界中事物之間的數(shù)量關(guān)系，隨著對運算的深入研究，使我們進一步又建立了整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)及其運算，這樣我們對自然界事物的數(shù)量關(guān)系的描述更加完整和精細。

　　2?為什么要把“0”作為自然數(shù)

　　我們從自然數(shù)的功能上回答這個問題。

　　第一、“0”不是自然數(shù)時，其基數(shù)功能不完整。我們知道“空集”是最基本的集合，也是我們描述周圍現(xiàn)象時常用到的集合概念，在集合論中用專門的符號“Φ”表示。例如方程x2+1=0的實根集合就是一個空集。有了空集的概念后，我們可以用公理化的方法給出所有自然數(shù)的定義。首先，對任意集合A，我們定義A+=A∪{A}為集合A的后繼。其次，定義：0=Φ;1=0+=Φ∪{Φ}={Φ};2=1+={Φ}∪{{Φ}}={Φ,{Φ}};3=2+={Φ,{Φ}}∪{{Φ,{Φ}}}={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}};……從這個定義可以看出，每個自然數(shù)可看作一個集合的名稱。在日常生活中，我們常用數(shù)出集合元素數(shù)目的辦法來判斷有限集中元素的個數(shù)，這實際上是在所給集合與某個自然數(shù)表示的集合之間建立一個一 一對應(yīng)。所以用集合論的觀點，我們可給出有限集及其元素個數(shù)的嚴格定義如下：“設(shè)A是一個集合，若在A與自然數(shù)集N的某個元素n之間存在一 一對應(yīng)，則稱A為有限集(否則稱為無限集，即A不能與任一自然數(shù)n建立一 一對應(yīng)時，稱A為無限集)，且稱n為集合A的基數(shù)或勢(即通常所說的集合的元素個數(shù))”。把空集劃分為有限集是很自然的。但當“0”不是自然數(shù)時，就沒有一個自然數(shù)可表示空集的基數(shù)，這樣不管從日常生活的語義上，還是上述嚴格定義上，自然數(shù)描述有限集基數(shù)的功能均不完整;反之，可用“0”表示空集的基數(shù)，則“所有自然數(shù)”就可以完整刻畫“所有有限集元素的多少”這一任務(wù)。這樣我們從自然數(shù)的基數(shù)功能說明了把“0”作為自然數(shù)的好處。

　　第二、我們還要說明，把“0”作為自然數(shù)，不會影響其“序數(shù)功能”與“運算功能”。

　　首先，在集合論中，常常要討論元素之間的序關(guān)系，并根據(jù)序關(guān)系的性質(zhì)將集合分為“偏序集”、“線性序集”、“良序集”等，序關(guān)系為我們提供了一種比較集合中元素的手段，在日常生活中有廣泛的應(yīng)用。自然數(shù)的序關(guān)系具有比較好的性質(zhì)，這些性質(zhì)通常是用關(guān)系運算“≤、≥、<、>、=、≠”來描述的。我們說“0”作為自然數(shù)，是不會影響其“序數(shù)功能”的。

　　在“順序”方面，除了上述性質(zhì)外，自然數(shù)還有一種特殊的性質(zhì)，這也是自然數(shù)區(qū)別于整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集的本質(zhì)性質(zhì)，即“自然數(shù)的任一非空子集中，一定有最小的數(shù)”，也就是說自然數(shù)集還是一個良序集。盡管整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集都是線性序集，但它們不具有自然數(shù)的特殊性質(zhì)。例如，所有負整數(shù)是整數(shù)集的子集，但它無最小數(shù)。又如區(qū)間 (0，1)作為實數(shù)集的非空子集也沒有最小數(shù)，而區(qū)間 (0，1)內(nèi)所有有理數(shù)構(gòu)成的集合作為有理數(shù)集的非空子集也沒有最小數(shù)。自然數(shù)的這一特殊性質(zhì)是保證數(shù)學(xué)歸納法成立的基本性質(zhì)。

　　很明顯，不管“0”是否歸于自然數(shù)集，上面討論的自然數(shù)的“順序”性質(zhì)都成立，當然也包括那種特殊性質(zhì)。實質(zhì)上沒有“0”的自然數(shù)集與包括“0”的自然數(shù)集可以在下面的對應(yīng)規(guī)則下看作是“完全一樣”的：n→n+1，從代數(shù)學(xué)的觀點來看它們是“同構(gòu)”的。這樣我們說明了把“0”作為自然數(shù)，不會影響其“序數(shù)功能”。

　　3?結(jié)論

　　既然“0”加盟到自然數(shù)集合中，只有好處，沒有壞處，我們?yōu)槭裁床粴g迎“0”作為自然數(shù)集合的一個成員呢?即“0”作為自然數(shù)是理所當然的，而不僅僅是一種“規(guī)定”。這可幫助我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，也可幫助我們養(yǎng)成一個良好的習慣，即學(xué)習一個數(shù)學(xué)概念時，不但要記住和理解“定義”和“規(guī)定”，還要思考這些“定義”和“規(guī)定”后面的數(shù)學(xué)含義。