培養逆向思維提高解題效率
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李泗敏1由 分享
逆向思維也叫求異思維，它與常規思維不同，逆向思維是反過來思考問題，是用絕大多數人沒有想到的思維方式去思考問題．運用逆向思維去思考和處理問題，實際上就是以“出奇”去達到“制勝”．人們常常習慣于沿著事物發展的正方向去思考問題并尋求解決辦法．其實，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化，使解決它變得輕而易舉．
逆向思維作為一種重要的思維方式 ,歷來受到人們的廣泛重視 , 它在數學教學中的作用十分重要 ,它是當前素質教育中不可忽視的內容之一．在數學教學中 ,加強逆向思維的訓練和培養 ,可以提高學生的解題效率,增強學生的創新意識．課堂教學結果表明：許多學生之所以處于低層次的學習水平，有一個重要因素，即逆向思維能力薄弱，定性于順向學習公式、定理等并加以死板套用，缺乏創造能力、觀察能力、分析能力和開拓精神．因此，加強逆向思維的訓練，可改變其思維結構，培養思維靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問題和解決問題的能力．迅速而自然地從正面思維轉到逆向思維的能力，正是數學能力增強的一種標志．因此，我們在數學教學中要結合教學實際，有意識地加強逆向思維的訓練，引導和培養學生的逆向思維意識和習慣．我就初中數學教學中如何培養學生的逆向思維能力談談自己的看法．
充分利用教材所提供的素材 ,培養學生逆向思維的意識和自覺性．數學中的許多概念存在著互逆關系 ,例如正負數的概念 ,指數與對數的概念等 ,還有許多的公式、法則、定理等都存在著互逆關系 ,這些都是培養學生逆向思維的好素材．因此 ,在概念、法則、定理等教學中 ,要根據教材本身所提供的潛在的可逆性 ,從正反、順逆兩方面去進行分析、比較 ,使學生深刻理解有關定義和法則 ,掌握其本質特征．同時 ,還要精選一些習題 ,有意識地加強逆向思維的訓練．這樣 ,非常有利于培養學生逆向思維的意識 ,以及解決問題的思維方法．重點從幾個方面去說
一、在概念教學中注意培養學生逆向思維
數學概念、定義總是雙向的，我們在平時的教學中，只秉承了從左到右的運用，于是形成了定性思維，對于逆用公式、法則等很不習慣．因此在概念的教學中，除了讓學生理解概念本身及其常規應用外，還要善于引導啟發學生反過來思考，從而加深對概念的理解與拓展．例如：講述：“同類二次根式”時明確“化成最簡二次根式后被開方數相同的幾個二次根式是同類二次根式”．反過來，若兩個二次根式是同類二次根式，則必須在化成最簡二次根式后被開方數相同．例如：“互為余角”的定義教學中，可采用以下形式：∵∠A+∠B=90°,∴∠A、∠B互為余角（正向思維）．∵∠A、∠B互為余角．∴∠A+∠B＝90°（逆向思維）．使學生把握住“互為余角”的實質：⑴∠A與∠B“互為余角”表示∠A是∠B的余角，∠B也是∠A的余角；⑵互余的定義規定是“兩個角”，而不是一個角，也不是兩個以上的角．因此，像“∠A是余角”.“∵∠1+∠2+∠3=90°，∴∠1、∠2、∠3互為余角”等說法都是錯誤的；⑶“互為余角”是兩個角之間的 “數量關系”，它與兩個角的位置無關．準確地掌握概念是學好數學的首要環節．當然，在平常的教學中，教師本身應明確哪些定理的逆命題是真命題，才能適時給學生以訓練．
二、重視公式、法則的逆運用
公式從左到右及從右到左，這樣的轉換正是由正向思維轉到逆向思維的能力的體現．因此，當講授完一個公式及其應用后，緊接著舉一些公式的逆應用的例子，可以給學生一個完整的印象，開闊思維空間．在代數中公式的逆向應用比比皆是．如多項式的乘法公式的逆用用于因式分解、同底數冪的運算法則的逆用可輕而易舉地幫助我們解答一些問題，如：計算（1） 22000×52001；（2）2m×4m×0.125m等，這組題目若正向思考不但繁瑣復雜，甚至解答不了，靈活逆用所學的冪的運算法則，則會出奇制勝．故逆向思維可充分發揮學生的思考能力，提高解題效率，也可大大刺激學生學習數學的主觀能動性與探索數學奧秘的興趣．
三、加強逆定理的教學
每個定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，經過證明后成立即為逆定理．逆命題是尋找新定理的重要途徑．在平面幾何中，許多的性質與判定都有逆定理．如：平行線的性質與判定，線段的垂直平分線的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，勾股定理與逆定理等，注意它的條件與結論的關系，加深對定理的理解和應用，重視逆定理的教學應用對開闊學生思維視野，活躍思維大有益處．例：△ABC中,a=2n+1, b=2n2+2n, c=2n2+2n+1(n＞0),求證△ABC是直角三角形．
分析 已知三邊,欲證△ABC是直角三角形,可考慮用勾股定理的逆定理
證明 ∵n＞0
∴2n2+2n+1＞2n2+2n＞2n+1即c＞b＞a
又∵a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2
=4n4+8n3+8n2+4n+1
c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1
∴a2+b2=c2
根據勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．
四、在例題教學中培養逆向思維
學生在解題時往往習慣于正向使用定律、法則、公式，因此容易形成消極的思維定勢，從而使解題的思維受阻．我在講解定律、法則、分式時，除安排正向應用的例題外，也常適當安排一些逆向思維的范例．
如幾何中的反證法，以及在應用題教學中，指導學生用“分析法”分析問題，用綜合法解答問題也是逆向思維在教學中的應用等等．教師要培養學生的逆向思維，必須把握教材，注意發揮這方面范例的作用．
另外，教師可以根據實際情況，在學生學有余力的情況下，適當補充一些逆向思維的范例．通過教材和自己補充的一些范例的學習，學生的逆向思維便會潛移默化地受到熏陶，同時也提高了學生分析問題、解決問題的能力．
五、多用“逆向變式”訓練，強化學生的逆向思維
“逆向變式”即在一定的條件下，將已知和求證進行轉化，變成一種與原題目似曾相似的新題型．例如：不解方程，請判斷方程2x2-6x+3=0的根的情況．可變式為：已知關于x的方程2x2-6x+k=0，當K取何值時，方程有兩個不相等的實數根？經常進行這些有針對性的“逆向變式”訓練，創設問題情境，對逆向思維的形成起著很大作用．
逆向思維的培養、訓練也是一個持久的過程．我在安排練習時，總是精心設計好練習題，要為學生提供逆向思維的材料，設法通過不同層次的練習題對學生進行逆向思維訓練．另外，還要多鼓勵學生突破常規的思維方式，敢于想象，敢于標新立異．這些練習都活躍了學生的思維，有效地訓練了學生的逆向思維．
總之，培養學生的逆向思維能力，不僅提高了學生解題效率，更重要的是改善學生學習數學的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發學生的創新開拓精神，培養良好的思維品性，提高學習效果、學習興趣，及提高思維能力和整體素質．
逆向思維作為一種重要的思維方式 ,歷來受到人們的廣泛重視 , 它在數學教學中的作用十分重要 ,它是當前素質教育中不可忽視的內容之一．在數學教學中 ,加強逆向思維的訓練和培養 ,可以提高學生的解題效率,增強學生的創新意識．課堂教學結果表明：許多學生之所以處于低層次的學習水平，有一個重要因素，即逆向思維能力薄弱，定性于順向學習公式、定理等并加以死板套用，缺乏創造能力、觀察能力、分析能力和開拓精神．因此，加強逆向思維的訓練，可改變其思維結構，培養思維靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問題和解決問題的能力．迅速而自然地從正面思維轉到逆向思維的能力，正是數學能力增強的一種標志．因此，我們在數學教學中要結合教學實際，有意識地加強逆向思維的訓練，引導和培養學生的逆向思維意識和習慣．我就初中數學教學中如何培養學生的逆向思維能力談談自己的看法．
充分利用教材所提供的素材 ,培養學生逆向思維的意識和自覺性．數學中的許多概念存在著互逆關系 ,例如正負數的概念 ,指數與對數的概念等 ,還有許多的公式、法則、定理等都存在著互逆關系 ,這些都是培養學生逆向思維的好素材．因此 ,在概念、法則、定理等教學中 ,要根據教材本身所提供的潛在的可逆性 ,從正反、順逆兩方面去進行分析、比較 ,使學生深刻理解有關定義和法則 ,掌握其本質特征．同時 ,還要精選一些習題 ,有意識地加強逆向思維的訓練．這樣 ,非常有利于培養學生逆向思維的意識 ,以及解決問題的思維方法．重點從幾個方面去說
一、在概念教學中注意培養學生逆向思維
數學概念、定義總是雙向的，我們在平時的教學中，只秉承了從左到右的運用，于是形成了定性思維，對于逆用公式、法則等很不習慣．因此在概念的教學中，除了讓學生理解概念本身及其常規應用外，還要善于引導啟發學生反過來思考，從而加深對概念的理解與拓展．例如：講述：“同類二次根式”時明確“化成最簡二次根式后被開方數相同的幾個二次根式是同類二次根式”．反過來，若兩個二次根式是同類二次根式，則必須在化成最簡二次根式后被開方數相同．例如：“互為余角”的定義教學中，可采用以下形式：∵∠A+∠B=90°,∴∠A、∠B互為余角（正向思維）．∵∠A、∠B互為余角．∴∠A+∠B＝90°（逆向思維）．使學生把握住“互為余角”的實質：⑴∠A與∠B“互為余角”表示∠A是∠B的余角，∠B也是∠A的余角；⑵互余的定義規定是“兩個角”，而不是一個角，也不是兩個以上的角．因此，像“∠A是余角”.“∵∠1+∠2+∠3=90°，∴∠1、∠2、∠3互為余角”等說法都是錯誤的；⑶“互為余角”是兩個角之間的 “數量關系”，它與兩個角的位置無關．準確地掌握概念是學好數學的首要環節．當然，在平常的教學中，教師本身應明確哪些定理的逆命題是真命題，才能適時給學生以訓練．
二、重視公式、法則的逆運用
公式從左到右及從右到左，這樣的轉換正是由正向思維轉到逆向思維的能力的體現．因此，當講授完一個公式及其應用后，緊接著舉一些公式的逆應用的例子，可以給學生一個完整的印象，開闊思維空間．在代數中公式的逆向應用比比皆是．如多項式的乘法公式的逆用用于因式分解、同底數冪的運算法則的逆用可輕而易舉地幫助我們解答一些問題，如：計算（1） 22000×52001；（2）2m×4m×0.125m等，這組題目若正向思考不但繁瑣復雜，甚至解答不了，靈活逆用所學的冪的運算法則，則會出奇制勝．故逆向思維可充分發揮學生的思考能力，提高解題效率，也可大大刺激學生學習數學的主觀能動性與探索數學奧秘的興趣．
三、加強逆定理的教學
每個定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，經過證明后成立即為逆定理．逆命題是尋找新定理的重要途徑．在平面幾何中，許多的性質與判定都有逆定理．如：平行線的性質與判定，線段的垂直平分線的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，勾股定理與逆定理等，注意它的條件與結論的關系，加深對定理的理解和應用，重視逆定理的教學應用對開闊學生思維視野，活躍思維大有益處．例：△ABC中,a=2n+1, b=2n2+2n, c=2n2+2n+1(n＞0),求證△ABC是直角三角形．
分析 已知三邊,欲證△ABC是直角三角形,可考慮用勾股定理的逆定理
證明 ∵n＞0
∴2n2+2n+1＞2n2+2n＞2n+1即c＞b＞a
又∵a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2
=4n4+8n3+8n2+4n+1
c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1
∴a2+b2=c2
根據勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．
四、在例題教學中培養逆向思維
學生在解題時往往習慣于正向使用定律、法則、公式，因此容易形成消極的思維定勢，從而使解題的思維受阻．我在講解定律、法則、分式時，除安排正向應用的例題外，也常適當安排一些逆向思維的范例．
如幾何中的反證法，以及在應用題教學中，指導學生用“分析法”分析問題，用綜合法解答問題也是逆向思維在教學中的應用等等．教師要培養學生的逆向思維，必須把握教材，注意發揮這方面范例的作用．
另外，教師可以根據實際情況，在學生學有余力的情況下，適當補充一些逆向思維的范例．通過教材和自己補充的一些范例的學習，學生的逆向思維便會潛移默化地受到熏陶，同時也提高了學生分析問題、解決問題的能力．
五、多用“逆向變式”訓練，強化學生的逆向思維
“逆向變式”即在一定的條件下，將已知和求證進行轉化，變成一種與原題目似曾相似的新題型．例如：不解方程，請判斷方程2x2-6x+3=0的根的情況．可變式為：已知關于x的方程2x2-6x+k=0，當K取何值時，方程有兩個不相等的實數根？經常進行這些有針對性的“逆向變式”訓練，創設問題情境，對逆向思維的形成起著很大作用．
逆向思維的培養、訓練也是一個持久的過程．我在安排練習時，總是精心設計好練習題，要為學生提供逆向思維的材料，設法通過不同層次的練習題對學生進行逆向思維訓練．另外，還要多鼓勵學生突破常規的思維方式，敢于想象，敢于標新立異．這些練習都活躍了學生的思維，有效地訓練了學生的逆向思維．
總之，培養學生的逆向思維能力，不僅提高了學生解題效率，更重要的是改善學生學習數學的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發學生的創新開拓精神，培養良好的思維品性，提高學習效果、學習興趣，及提高思維能力和整體素質．