試論幾個抽象函數問題

　　抽象函數是一種重要的數學概念.我們把沒有給出具體解析式，其一般形式為y=f(x)，且無法用數字和字母的函數稱為抽象函數.由于抽象函數的問題通常將函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性和圖像集于一身.這類問題考查學生對數學符號語言的理解和接受能力、對一般和特殊關系的認識以及數學的綜合能力.

　　解決抽象函數的問題要求學生基礎知識扎實、抽象思維能力、綜合應用數學能力較高.所以近幾年來高考題中不斷出現，在2009年的全國各地高考試題中，抽象函數遍地開花.但學生在解決這類問題時常常感到束手無策、力不從心.下面通過例題全面探討抽象函數主要考查的內容及其解法.

　　一、抽象函數的定義域

　　例1已知函數f(x)的定義域為[1,3]，求出函數g(x)=f(x+a)+f(x-a) (a>0)的定義域.

　　解析：由由a>0 知只有當0

　　點評：1.已知f(x)的定義域為[a,b]，則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解;

　　2.已知f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域即是g(x)在x [a,b]上的值域.

　　二、抽象函數的值域

　　解決抽象函數的值域問題——由定義域與對應法則決定.

　　例2若函數y=f(x+1)的值域為[-1，1]求y=(3x+2)的值域.

　　解析：因為函數y=f(3x+2)中的定義域與對應法則與函數y=f(x+1)的定義域與對應法則 完全相同，故函數y=f(3x+2)的值域也為[-1，1].

　　三、抽象函數的奇偶性

　　例3若y=f(x)是偶函數,y= f(x-1)是奇函數，求 f(2007)=?

　　解析：因為y=f(x-1)是奇函數,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){為什么?};因為 y=f(x)是偶函數，所以f(-x-1)=f(x+1){為什么?};因為f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因為y=f(x-1)是奇函數,所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)

　　四、抽象函數的對稱性

　　例4已知函數y=f(2x+1)是定義在R上的奇函數，函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于y=x對稱,則g(x)+ g(-x)的值為( )

　　A、 2 B、 0 C、 1 D、不能確定

　　解析：由y=f(2x+1)求得其反函數為y=[f (x)-1]/2，∵ y=f(2x+1) 是奇函數，

　　∴y=[f (x)-1]/2也是奇函數，∴[f (x)-1]/2+[f (-x)-1]/2=0 ∴f (x)+f (-x)=2，而函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于y=x對稱，∴g(x)+ g(-x)= f (x)+f (-x)故選A .

　　五、抽象函數的周期性

　　例5、(2009全國卷Ⅰ理)函數的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則( )

　　(A) f(x)是偶函數 (B) f(x)是奇函數

　　(C) f(x)= f(x+2) (D) f(x+3)是奇函數

　　解: ∵f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，，

　　函數關于(-1,0)點，及點(1,0)對稱，函數是周期為4的周期函數.，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函數.故選D

　　關于抽象函數的周期性有如下的幾個定理和性質，由于篇幅問題，推導就省略了.

　　定理1.若函數y=f (x) 定義域為R，且滿足條件f (x+a)=f (x-b)，則y=f (x) 是以T=a+b為周期的周期函數.

　　定理2.若函數y=f (x) 定義域為R，且滿足條件f (x+a)= -f (x-b)，則y=f (x) 是以T=2(a+b)為周期的周期函數.

　　定理3.若函數y=f (x)的圖像關于直線 x=a與 x=b (a≠b)對稱，則y=f (x) 是以T=2(b-a)為周期的周期函數. 轉貼于 中國論文下載中

　　et 定理4.若函數y=f (x)的圖像關于點(a,0)與點(b,0) , (a≠b)對稱，則y=f (x) 是以 T=2(b-a)為周期的周期函數.

　　定理5.若函數y=f (x)的圖像關于直線 x=a與 點(b,0),(a≠b)對稱，則y=f (x) 是以 T=4(b-a)為周期的周期函數.

　　性質1：若函數f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=f(b+x) (a≠b,ab≠0),則函數f(x)有周期2(a-b);

　　性質2：若函數f(x)滿足f(a-x)= - f(a+x)及f(b-x)=- f(b+x)，(a≠b,ab≠0),則函數有周期2(a-b).

　　特別：若函數f(x)滿足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是偶函數，則函數f(x)有周期2a.

　　性質3：若函數f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)= - f(b+x) (a≠b,ab≠0)， 則函數有周期4(a-b).

　　特別：若函數f(x)滿足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是奇函數，則函數f(x)有周期4a.

　　從以上例題可以發現，抽象函數的考查范圍很廣，能力要求較高.但只要對函數的基本性質熟，掌握上述有關的結論和類型題相應的解法，則會得心應手.