等價(jià)無窮小性質(zhì)的理解、延拓及應(yīng)用

【摘要】

【關(guān)鍵詞】 等價(jià)無窮小　極限　羅比塔法則　正項(xiàng)級數(shù) 比較審斂法

　　Comprension，Expand and Application of Equivalent Infinitesimal's Character

　Abstract Equivalent Infinitesimal have good characters,both in opreation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges,if these quality that apply flexibly can obtain more effect,the effection can not be replace by L'Hospital Rule.this paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit,so the question can be simply and avoid error in application.

Key words equivalent Infinitesimal; limit; L'Hospital rule positive series; comparison test

　　等價(jià)無窮小概念是高等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，但在高等數(shù)學(xué)中等價(jià)無窮小的性質(zhì)僅僅在“無窮小的比較”中出現(xiàn)過，其他地方似乎都未涉及到。其實(shí)，在判斷廣義積分、級數(shù)的斂散性，特別是在求極限的運(yùn)算過程中，無窮小具有很好的性質(zhì)，掌握并充分利用好它的性質(zhì)，往往會(huì)使一些復(fù)雜的問題簡單化，可起到事半功倍的效果，反之，則會(huì)錯(cuò)誤百出，有時(shí)還很難判斷錯(cuò)在什么地方。因此，有必要對等價(jià)無窮小的性質(zhì)進(jìn)行深刻地認(rèn)識(shí)和理解，以便恰當(dāng)運(yùn)用，達(dá)到簡化運(yùn)算的目的。

　　1 等價(jià)無窮小的概念及其重要性質(zhì)［1］

無窮小的定義是以極限的形式來定義的，當(dāng)x→x0時(shí)(或x→∞)時(shí)，limf(x)=0，則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)(或x→∞)時(shí)為無窮小。

　　當(dāng)limβα=1，就說β與α是等價(jià)無窮小。

常見性質(zhì)有：

設(shè)α,α′,β,β′,γ 等均為同一自變量變化過程中的無窮小， ① 若α～α′,β～β′， 且limα′β′存在，則limαβ=limα′β′② 若α～β，β～γ，則α～γ

性質(zhì)①表明等價(jià)無窮小量的商的極限求法。性質(zhì)②表明等價(jià)無窮小的傳遞性若能運(yùn)用極限的運(yùn)算法則，可繼續(xù)拓展出下列結(jié)論：

③ 若α～α′,β～β′， 且limβα=c(≠-1)，則α+β～α′+β′

　　證明：∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β
=lim1+c1+c=1 ∴ α+β～α′+β′

　　而學(xué)生則往往在性質(zhì)(3)的應(yīng)用上忽略了“limβα=c(≠-1)”這個(gè)條件，千篇一律認(rèn)為“α～α′,β～β′，則有α+β～α′+β′

④ 若α～α′,β～β′， 且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，則當(dāng)Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且 limAα±BβCα±Dβ存在，有l(wèi)imAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′

　　此性質(zhì)的證明見文獻(xiàn)［2］，性質(zhì)③、④在加減法運(yùn)算的求極限中就使等價(jià)無窮小的代換有了可能性，從而大大地簡化了計(jì)算。但要注意條件“limβα=c(≠-1)”，“Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”的使用。

　　2 等價(jià)無窮小的應(yīng)用

　　2.1 在求極限中經(jīng)常用到的等價(jià)無窮小有 x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～ex-1, 1-cosx～12x2, n1+x～1+xn,(x→0)

　　例1 limx→0tanx-sinxx3

　　解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx
=limx→0x·12x2x3(∵ sinx～x,1-cosx～x22)
=12

　　此題也可用羅比塔法則做，但不能用性質(zhì)④做。
∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不滿足性質(zhì)④的條件，否則得出錯(cuò)誤結(jié)論0。

　　例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2

　　解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53

　　用性質(zhì)④直接將等價(jià)無窮小代換進(jìn)去，也可用羅比塔法則做。

例3 limx→0(1x2-cot2x)

　　解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x
=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4
=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)
=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2
=limx→012x2·(1+cosx)x2=1

　　解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x
=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4
=limx→02x(tanx-x)x44 (∵ tanx～x)
=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2
=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)

　　兩種解法的結(jié)果不同，哪一種正確呢？可以發(fā)現(xiàn)解法1錯(cuò)了，根源在于錯(cuò)用sinx-xcosx～x-xcosx (注意limx→0sinx-xcosx=-1), 由性質(zhì)③ sinx-xcosx并不等價(jià)于x-xcosx 。從解法2又可以看到盡管羅比塔法則是求極限的一個(gè)有力工具，但往往需要幾種方法結(jié)合起來運(yùn)用，特別是恰當(dāng)適時(shí)地運(yùn)用等價(jià)無窮小的代換，能使運(yùn)算簡便，很快得出結(jié)果。

　　2.2 在正項(xiàng)級數(shù)的審斂判別法中，用得比較多的是比較審斂法的極限形式，它也是無窮小的一個(gè)應(yīng)用。

比較審斂法的極限形式：設(shè)∑∞n=1un 和∑∞n=1vn 都是正項(xiàng)級數(shù)， ① 如果limn→∞unvn=l(0≤l<+∞) ，且級數(shù)∑∞n=1vn收斂，則級數(shù)∑∞n=1un收斂。

　　② 如果limn→∞unvn=l>0 或limn→∞unvn=+∞，且級數(shù)∑∞n=1vn發(fā)散，則級數(shù)∑∞n=1un發(fā)散。當(dāng)l=1時(shí)，∑un，∑vn就是等價(jià)無窮小。由比較審斂法的極限形式知，∑un與∑vn同斂散性，只要已知∑un，∑vn中某一個(gè)的斂散性,就可以找到另一個(gè)的斂散性。

例4 判定∑∞n=11n2-lnn 的斂散性

解： ∵ limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1 又∑1n2 收斂 ∴ ∑∞n=11n2-lnn 收斂

例5 研究∑∞n=11ln(1+n)的斂散性

解： limn→∞1ln(1+n)1n=limn→∞nln(1+n)=1 而∑1n 發(fā)散 ∴ ∑∞n=11ln(1+n) 發(fā)散

　　3 等價(jià)無窮小無可比擬的作用

以例3看，若直接用羅比塔法則會(huì)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)以下結(jié)果：
原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx
=limx→0secx(tan2x- sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越變越復(fù)雜，難于求出最后的結(jié)果。而解法2適時(shí)運(yùn)用性質(zhì)①，將分母x2tan2x替換成x4，又將分子分解因式后進(jìn)行等價(jià)替換，從而很快地求出正確結(jié)果。再看一例：

例6［3］ limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用羅比塔法則）

=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分離非零極限乘積因子）

=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零極限）

=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用羅比塔法則）

=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

出現(xiàn)循環(huán)，此時(shí)用羅比塔法則求不出結(jié)果。怎么辦？用等價(jià)無窮小代換。

∵ x～sinx～tanx(x→0)

∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。

由此可看到羅比塔法則并不是萬能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性［3］。只要充分地掌握好等價(jià)無窮小的4條性質(zhì)就不難求出正確的結(jié)論。

【參考文獻(xiàn)】
　　1 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，主編.高等數(shù)學(xué).第5版.北京：高等教育出版社，2002,7（38）：56～59.
　　2 楊文泰，等.價(jià)無窮小量代換定理的推廣.甘肅高師學(xué)報(bào)，2005，10（2）：11～13.
　　3 王斌.用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討.黔西南民族師專學(xué)報(bào)，2001，12（4）：56～58.