2017年全國數學建模大賽獲獎優秀論文
2017年全國數學建模大賽獲獎優秀論文
數學建模就是通過計算得到的結果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗，來建立數學模型的全過程。下文是學習啦小編為大家整理的關于2017年全國數學建模優秀論文的范文，歡迎大家閱讀參考!
2017年全國數學建模優秀論文篇1
基于EXCEL的層次分析法模型設計
摘要：層次分析法是美國學者T.L.Satty于20世紀70年代提出了以定性與定量相結合，系統化、層次化分析解決問題的方法，簡稱AHP。傳統的層次分析法算法具有構造判斷矩陣不容易、計算繁多重復且易出錯、一致性調整比較麻煩等缺點。本文利用微軟的Excel電子表格的強大的函數運算功能，設置了簡明易懂的計算表格和步驟，使得判斷矩陣的構造、層次單排序和層次總排序的計算以及一致性檢驗和檢驗之后對判斷矩陣的調整變得十分簡單。
關鍵詞：Excel 層次分析法 模型
一、層次分析法的基本原理
層次分析法是解決定性事件定量化或定性與定量相結合問題的有力決策分析方法。它主要是將人們的思維過程層次化、，逐層比較其間的相關因素并逐層檢驗比較結果是否合理，從而為分析決策提供較具說服力的定量依據。層次分析法不僅可用于確定評價指標體系的權重，而且還可用于直接評價決策問題，對研究對象排序，實施評價排序的評價內容。
用AHP分析問題大體要經過以下七個步驟：
⑴建立層次結構模型;
首先要將所包含的因素分組，每一組作為一個層次，按照最高層、若干有關的中間層和最低層的形式排列起來。對于決策問題，通常可以將其劃分成層次結構模型，如圖1所示。
其中，最高層：表示解決問題的目的，即應用AHP所要達到的目標。
中間層：它表示采用某種措施和政策來實現預定目標所涉及的中間環節，一般又分為策略層、約束層、準則層等。
最低層：表示解決問題的措施或政策(即方案)。
⑵構造判斷矩陣;
設有某層有n個元素，X={Xx1,x2,x3……xn}要比較它們對上一層某一準則(或目標)的影響程度，確定在該層中相對于某一準則所占的比重。(即把n個因素對上層某一目標的影響程度排序。上述比較是兩兩因素之間進行的比較，比較時取1~9尺度。
用表示第i個因素相對于第j個因素的比較結果，則
A則稱為成對比較矩陣
比較尺度：(1~9尺度的含義)
如果數值為2,4,6,8表示第i個因素相對于第j個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。
倒數：若j因素和i因素比較，得到的判斷值為
⑶用和積法或方根法等求得特征向量 W(向量 W 的分量 Wi 即為層次單排序)并計算最大特征根λmax;
⑷計算一致性指標 CI、RI、CR 并判斷是否具有滿意的一致性。其中RI是
其中
平均隨機一致性指標 RI 的數值：
矩陣階數 3 4 5 6 7 8 9 10 11
RI 0.5149 0.8931 1.1185 1.2494 1.3450 1.4200 1.4616 1.49 1.51
CR=CI/RI,一般地當一致性比率CR<0.1時，認為A的不一致程度在容許范圍之內，可用其歸一化特征向量作為權向量，否則要重新構造成對比較矩陣，對A加以調整。 ⑸層次總排序，如表1所示。
⑹層次總排序一致性檢驗，如前所述。
⑺根據需要進行調整 對于層次單排序結果和層次總排序結果，只要符合滿意一致性即隨機一致性比例 CR≤ 0.10 就可以結束計算并認同排序結果，否則就要返回調整不符合一致性的判斷矩陣。
二、層次分析法 Excel 模型設計過程 案例：某人欲到蘇州、杭州、桂林三地旅游，選擇要考慮的因素包括四個方面：景色、費用、居住和飲食，用層次分析法選一個適合自己情況的旅游點。
⒈根據題意可以建立層次結構模型。
⒉Excel實現過程
⑴將準則層的各因素對目標層的影響兩兩比較結果輸入Excel表格中，進行單排序及一致性檢驗。
其中：F4=PRODUCT(B4:E4)，表示B4、C4、D4、E4各單元格連乘，復制公式至F7單元格。 G4=POWER(F4,1/4)，表示將F4單元格的值開4次方，復制公式至G7單元格 G8=SUM(G4:G7)，表示求和 H4=G4/$G，復制公式至H7單元格 I4= B4*H+C4*H+D4*H+E4*H，復制公式至I7單元格 J4= I4/H4 λmax= AVERAGE(J4:J7)。 CI=(J8-4)/(4-1)，CR=CI/0.8931=0.0080101<0.1，即通過一致性檢驗。
⑵按同樣的方法分別計算出方案層對景色、費用、居住、飲食的判斷矩陣及一致性檢驗，。
⑶層次總排序，由于蘇州數值最高，故選擇的旅游地為蘇州。 其中：C44=K14，G44=$C*C44，H48={SUM($C:$F*C48:F48)}，注意：這是一個數組函數需按ctrl+shift+enter三鍵確定。
三、基于Excel的層次分析法模型設計的優勢
⑴層次分析法 Excel 算法以廣泛使用的辦公軟件 Excel 作為運算平臺，無需掌握深奧的計算機專業知識和術語，有很好的推廣應用基礎。
⑵層次分析法 Excel算法的所有計算結果和數據均保留最高位數的精確度，可以不在任何環節進行四舍五入，當然也可以根據需要設置小數位，從而最大限度地減少了誤差。
⑶層次分析法 Excel 算法的計算步驟設計成環環相扣、步步跟蹤，步驟設計完畢后，可以按需要填充或變更，其余數據和結果均可以在填充或變更判斷矩陣之后立即得出，使得整個運算過程簡捷、輕松。另外，相似的矩陣區和計算區可以通過復制完成，只需改動少量單元格。
⑷層次分析法 Excel 算法將一致性檢驗也同時計算出來，決策者和判斷者可以即時知道自己的判斷是否具有滿意的一致性并可以隨時和簡單地進行調整直到符合滿意一致性。
⑸如果一致性指標不能令人滿意，用本方法可以比較容易地實現對判斷矩陣的調整，可以實現對判斷的“微調” ，使得逼近最大程度的“滿意一致性”甚至“完全一致性”而又不必進行繁重運算成為可能。
2017年全國數學建模優秀論文篇2
試論數學建模
【摘 要】本文以“減肥問題的研究”為例，介紹了數學建模基本方法和步驟，希望它能對初次參加數學建模的同學有所幫助。
【關鍵詞】數學建模;基本方法;步驟
數學建模就是應用建立數學模型來解決各種實際問題的方法，也就是通過對實際問題作抽象、簡化、確定變量和參數并應用某些“規律”建立含變量和參數的數學問題，求解該數學問題并驗證所得到的解，從而確定能否用于解決實際問題的這種多次循環，不斷深化的過程。數學建模可以培養學生下列能力：
(1)洞察能力，許多提出的問題往往不是數學化的，這就是需要建模者善于從實際工作提供的原形中;抓住其數學本質，同時有些數學模型又可以有許多現實意義，這使得建模者不得不具有很強的洞察以及多種思維方式進行橫向、縱向的研究;
(2)數學語言翻譯能力即把經過一定抽象和簡化的實際用數學的語言表達出來，形成數學模型，并對數學的方法和理論推導或計算得到的結果，能用大眾的語言表達出來，在此基礎上提出解決某一問題的方案或建議;
(3)綜合應用分析能力，用已學到的數學思想和方法進行綜合應用分析，并能學習一些新的知識;(4)聯想能力，對于不少的實際問題，看起來完全不同，但在一定的簡化層次下它們的數學建模是相同的或相似的，這正是數學應用廣泛性的體現，這就要培養學生有廣泛的興趣，多思考，勤奮踏實地學習，通過熟能生巧達到觸類旁通地境界。因此，目前有越來越多的高等院校自己組織或參加全國乃至國際大學生數學建模竟賽。
然而，有部分學生特別是初次參加數學建模的學生對數學建模感到很茫然，本人多次承擔數學建模指導老師，撰寫該論文，希望對初次參加數學建模的同學有所幫助。
1.建立數學模型的一般步驟
1.1 使問題理想化
在眾多因素中孤立出所研究的問題是科學研究的經典方法。按照辯證唯物主義觀點，世界上一切事物都是相互依賴、相互依存的，要精細地研究一個問題常常無從下手，就是因為思考相關問題太多所致。因此，對初學者最好的方法就是使問題簡單化、理想化，在特殊或極端情況下進入課題，然后加入相關因素，修正結果，使問題深化。這一步的核心思想就是在復雜的現實中孤立我們所關心的事物與什么有直接因果關系，把這些孤立出來的事物用符號、算式及相關學科的理論進行數學分析處理的全過程，就可以認為是數學建模的過程了。
1.2 假定及符號認定
在比較理想的情況下建立數學模型還是很容易的。所謂理想就是通過假設條件把所研究的問題進一步明確，哪些條件先不慮，哪些條件應設為變量，哪些變量與時間(路程、費用等等)有關。這樣就為下一步建立數學模型打下了良好的基礎。
1.3 數據處理與模型建立
數學模型的建立一般有兩種情況。其一，問題本身給出一些數據，建模的人應從數據上找出一定的規律性，這時就應通過相應的數學方法整理數學數據。如使用最小二乘法、統計學方法等。對于沒有數據的數學模型的建立，一般要使用數學手段建立形式，如矩陣、微分方程、數學優化形式等等，這些都可以視為數學模型的初創時期。在建模初期還必須注意使用其它學科的成果，如物理學、化學、生物學、電工、機械、光學等學科，把這些學科的現成結論直接拿來使用也是數學建模時必不可少的一環。
1.4 分析結果及修改模型
在比較理想的狀態下建立的數學模型一般都與實際原形有較大差距。為使數學模型更能反映原形，就必須按實際情況再修改、補充新條件，分析新結論，最終經反復研究會得到一個令人滿意的結果。
2.以對“減肥問題的研究”為例，探討數學建模方法和步驟
2.1 問題的提出
對于人類來說，肥胖癥或減肥問題越來越引起人們的廣泛關注。目前各種減肥食品或藥物數不勝數，各種減肥新法也紛紛登場，如國氏全營養素、減肥酥、soft海藻減肥香皂等。一時間，愛美的人，害怕肥胖的人面對如此多的食品、藥物或療法簡直無所適從。這里不準備也不可能去論證各種食品、藥物或療法的機理和有效性，只從數學上對減肥問題作些討論，即科學減肥的數學。
2.2 合理假設
A1：不妨假設人體由脂肪構成。(相對而言，成人是由骨骼、水分、脂肪組成，短時間內人體的骨骼、內臟等變化不大，可視為常數。)
A2：設時刻t，人的體重為W(t)千克，顯然W(t)可假設為t的連續函數;
A3：假設單位時間內人食用食物產生的熱量為A大卡，同樣也假設A為常數;
A4：單位時間內維持新陳代謝的熱量為B大卡，同樣也假設為常數;
A5：設單位時間內因運動消耗的能量與體重成正比，即C・W(t)大卡(由于運動需要消耗能量，而且體重越大，能量越多);
A6：對于人體系統而言，能量守恒;
A7：過剩的熱量按1千克脂肪=D大卡熱量轉化為脂肪(D=4.2*10焦耳/千克，稱為脂肪的能量轉換系數);
A8：初始時刻t=0時，體重為W0千克。
注：1千克脂肪完全“然燒”相當于釋放10000(即1D)大卡熱量。
2.3 模型的建立
由能量(熱量)守恒原理即任何時間段內由于體重的改變所引起的人體內能量的變化應該等于這段時間的攝入的能量與消耗的能量之差。故在△t(或[t，t+△t]時間間隔內，“增加”的熱量=△t[單位時間內吸入熱量-單位時間內消耗的熱量]，于是有：
3.總結
(1)一般方法只供參考，各步有機聯系但側重點不同。
(2)模型雖粗，但能定性說明問題，每步還有改進的余地。
參考文獻：
[1]數學建模[M].高等教育出版社.
[2]劉平.談數學學習[J].數學通訊，2012(10).
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