數學應用數學本科生畢業論文(2)

數學應用數學本科生畢業論文

　　數學應用數學本科生畢業論文篇2

　　淺談高等數學在初等數學中的應用

　　摘要：初等數學是學習高等數學基礎，高等數學是初等數學的繼續和提高，它不但解釋了許多初等數學未能說清楚的問題，并使許多初等數學束手無策的問題，至此迎刃而解了。本文從三個方面探討高等數學在初等數學中的作用。高等數學是在初等數學的基礎上發展起來的，與初等數學有著緊密的聯系。站在高等數學的角度來看中學數學的某些問題又會更深刻、更全面。運用高等數學的知識可以解決一些用初等方法難以解決的初等數學問題，以便使學生了解到高等數學對于初等數學的指導作用。

　　關鍵詞：初等數學;高等數學;聯系;應用

　　數學是一門科學性、概括性、邏輯性很強的學科。它源自于古希臘，是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個性。

　　問題的提出

　　許多學生經常提出這樣的問題：我們為什么要學這么多高等數學?這些問題長期以來困擾著我們。本文通過討論初等與高等數學的聯系，使他們真正覺得高等數學對初等數學教學有向導性意義，幫助他們用高等數學知識去分析和理解初等數學教材，從而站得更高，對中學數學的來龍去脈看得更清楚。

　　一、初等數學

　　初等數學時期從公元前五世紀到公元十七世紀，延續了兩千多年、由于高等數學的建立而結束。這個時期最明顯的結果就是系統地創立了初等數學，也就是現在中小學課程中的算術、初等代數、初等幾何(平面幾何和立體幾何)和平面三角等內容。

　　二、高等數學

　　內容包括函數與極限、一元函數微積分、向量代數與空間解析幾何、多元函數微積分、級數、常微分方程等。其中極限論是基礎：微分、積分是是核心，是從連續的側面揭示和研究函數變化的規律性，微分是從微觀上揭示函數的局部性質，積分是從宏觀上揭示函數的整體性質：級數理論是研究解析函數的主要手段：解析幾何為微積分的研究提供了解析工具，為揭示函數的性質提供了直觀模型：微分方程又從方程的角度把函數、微分、積分猶記得聯系起來，揭示了它們之間內在的依賴轉化關系。

　　三、高等數學與初等數學的聯系

　　高等數學分支之一數學分析的形成和發展體現了數學發展的每個新時期，思想方法上發生了根本性變化。它的形成是深深扎根于初等數學基礎之上，它的一些基本概念如導數、積分、無窮級數的收斂等，都是在初等數學有關問題的基礎上發展起來的。如導數是在運用代數運算求直線斜率這一問題的基礎上，發展成為運用極限方法求曲線上的點的斜率而形成的。可以這樣講，數學分析的形成是初等數學發展到一定階段的必然結果。

　　中學數學思想和方法主要體現為以下幾個方面，第一是指具體解題方法和解題模式，如代數中的加減消元法、錯位相減法、判別式法、公式法、數學歸納法、韋達法等等：幾何中的對稱、旋轉、平移、相似等等。第二是指數學觀念，即人們對數學的基本看法概括認識，如推理意識、整體意識、抽象意識、化歸意識、數學美的意識等等。第三是指“通用法”。數形結合法、待定系數法、換元法、分離系數法、消元法等等。現代中學數學和高等數學教學的一個顯著特征就是注重知識形成過程的教學形成和發展學生的教學思想和方法，會用數學思想和方法來解決問題。

　　綜上所述可知，高等代數在知識上的確是中學數學的繼續和提高。它還引入了數域、數環、向量空間等代數系統。這對用現代數學的觀點、原理和方法指導中學數學教學足十分有用的。

　　四、高等數學在初等數學題中的應用

　　1.不等式證明

　　(1)概率論的應用

　　例1.若0

　　證明：令A，B是兩個相互獨立的事件，且使PA=a，PB=b

　　由PA∪B=PA+PB-PAB

　　=PA+PB-PAPB

　　=a+b-ab

　　由概率的性質知，0≤PA∪B≤1，從而0≤a+b-ab≤1。

　　(2)微積分方法的應用

　　例2.證明：若函數f(x)在0，1單調減少，則∫10f(x)dx-1n∑nk=1f(kn)≤f(0)-f(1)n

　　證明：已知f(x)在0，1單調減少，則f(x)在0，1可積.將0，1n等分，分點是：0，1n，2n，...，n-1n，1.有

　　∫10f(x)dx-1n∑nk=1f(kn)=∑nk=1∫knk-1nf(x)dx-∑nk=1∫knk-1nf(kn)dx

　　=∑nk=1∫knk-1n[f(x)-f(kn)]dx

　　≤∑nk=1∫knk-1n[f(k-1n)-f(kn)]dx

　　=1n∑nk=1[f(k-1n)-f(kn)]

　　=1n[f(0)-f(1n)+f(1n)]-f(2n)+...+f(n-1n)-f(1)

　　=f(0)-f(1)n

　　這是03年北京高考理科數學最后一道大題(第20題)，是有關抽象函數不等式的證明題，認真分析研究該題中的(2)，發現這是一道具有高等數學知識背景的試題，可以將這個問題推廣：

　　推廣函數fx定義在a，b上。fa=fb，且對任意的x1，x2∈a，b，都有fx1-fx2≤x1-x2，則必有fx1-fx2≤b-a2

　　證明：(i)當x1-x2≤b-a2時，由fx1-fx2≤x1-x2≤b-a2知，結論成立。

　　(ii)當x1-x2>b-a2時，不妨設x1

　　fx1-fx2=fx1-fa+fb-fx2

　　≤fx1-fa+fb-fx2

　　≤x1-a+b-x2

　　=x1-a+b-x2 　　=b-a+x1-x2

　　=b-a2.

　　綜合可知，總有fx1-fx2≤b-a2。

　　2.矩陣的應用(向量組的線性相關性)

　　要在問題中用上矩陣也必須構造出與問題有某種關系的矩陣，然后才能使用矩陣的性質和定理。

　　例2.設α=(9，12，15)，β1=(1，2，3)，β2=(4，5，6)，試問α是否可由β1，β2線性表示?

　　解：假定有α=k1β1+k2β2，即有

　　(9，12，15)=k1(1，2，3)+k2(4，5，6)=(k1+4k2，2k1+5k2，3k1+6k2)，則k1，k2適合線性方程組

　　k1+4k2=9

　　2k1+5k2=12

　　3k1+6k2=15

　　容易解得k1=1，k2=2，從而α=β1+2β2，即α可由β1，β2線性表示.

　　在此例中引入矩陣作為工具使用了矩陣的性質，得以求出通項。而用初等數學的方法解的話，則要經過復雜的迭代才能解出此題，不如用矩陣的知識解題一目了然。

　　結論

　　本文通過分析初等數學與高等數學的聯系、融合總結了高等數學在初等數學中的應用并發揮高等數學在中學數學教學的指導作用，幫助加強對初等數學的認識，幫助他們正確運用所學的理論和方法，使他們更好地從整體上更科學更系統地認識初等數學的結構。在高等數學教育中如果有意識地培養學生運用高等數學方法分析研究初等數學中的問題，可以調動學生學習的積極性，可以開闊學生視野，提高解決問題能力。

　　指導教師：尹哲

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