八年級數學春季學期期末試卷
一個考試就是對我們一個時間段的學習的測試，今天小編就給大家整理一下八年級數學，就給大家閱讀哦
有關八年級數學下期末試卷
一、選擇題(本大題共8小題，共24.0分)
√3的相反數是( )
A. √3 B. -√3 C. ±√3 D. 1/√3
【答案】B
【解析】解：√3的相反數是-√3，
故選：B.
根據相反數的意義，可得答案.
本題考查了實數的性質，在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數.
京劇是中國的“國粹”，京劇臉譜是一種具有漢族文化特色的特殊化妝方法.由于每個歷史人物或某一種類型的人物都有一種大概的譜式，就像唱歌、奏樂都要按照樂譜一樣，所以稱為“臉譜”.如圖圖案(1)是京劇《華容道》中關羽的臉譜圖案.在下面的四個圖案中，可以通過平移圖案(1)得到的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根據平移的定義可得圖案(1)可以通過A平移得到，
故選：A.
根據題意，結合圖形，由平移的概念求解.
本題考查平移的基本概念及平移規律，是比較簡單的幾何圖形變換.關鍵是要觀察比較平移前后物體的位置.
一個三角形的兩邊長分別是3和7，則第三邊長可能是( )
A. 2 B. 3 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】解：設第三邊長為x，由題意得：
7-3
則4
故選：C.
根據三角形的三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得7-3
此題主要考查了三角形的三邊關系：第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和.
下列調查中，調查方式選擇不合理的是( )
A. 調查我國中小學生觀看電影《厲害了，我的國》情況，采用抽樣調查的方式
B. 調查全市居民對“老年餐車進社區”活動的滿意程度，采用抽樣調查的方式
C. 調查“神州十一號”運載火箭發射前零部件質量狀況，采用全面調查(普查)的方式
D. 調查市場上一批LED節能燈的使用壽命，采用全面調查(普查)的方式
【答案】D
【解析】解：A、調查我國中小學生觀看電影《厲害了，我的國》情況，采用抽樣調查的方式是合理的;
B、調查全市居民對“老年餐車進社區”活動的滿意程度，采用抽樣調查的方式是合理的;
C、調查“神州十一號”運載火箭發射前零部件質量狀況，采用全面調查(普查)的方式是合理的;
D、調查市場上一批LED節能燈的使用壽命，采用全面調查(普查)的方式是不合理的;
故選：D.
根據普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似判斷即可.
本題考查的是抽樣調查和全面調查的區別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查.
下列各式中，運算正確的是( )
A. a^2+a^2=2a^4 B. a^3-a^2=a C. a^6÷a^2=a^3 D. (a^2 )^3=a^6
【答案】D
【解析】解：A、a^2+a^2=2a^2，錯誤;
B、a^3、a^2不是同類項，不能合并，錯誤;
C、a^6÷a^2=a^4，錯誤;
D、(a^2 )^3=a^6，正確;
故選：D.
根據合并同類項法則、同底數冪的除法、冪的乘方逐一計算可得.
本題主要考查冪的運算，解題的關鍵是掌握合并同類項法則、同底數冪的除法、冪的乘方的運算法則.
點A，B，C，D在數軸上的位置如圖所示，則實數√7-2對應的點可能是( )
A. 點A B. 點B C. 點C D. 點D
【答案】B
【解析】解：∵2<√7<3，
0<√7-2<1，
∴實數√7-2對應的點可能是B點，
故選：B.
根據被開方數越大算術平方根越大，可得√7，根據數的大小，可得答案.
本題考查了實數與數軸，利用被開方數越大算術平方根越大得出2<√7<3是解題關鍵.
為增強學生體質，感受中國的傳統文化，學校將國家級非物質文化遺產--“抖空竹”引入陽光特色大課間.下面左圖是某同學“抖空竹”時的一個瞬間，小聰把它抽象成右圖的數學問題：已知AB//CD，∠EAB=〖80〗^°，∠ECD=〖110〗^°，則∠E的度數是( )
A. 〖30〗^° B. 〖40〗^° C. 〖60〗^° D. 〖70〗^°
【答案】A
【解析】解：如圖所示：延長DC交AE于點F，
∵AB//CD，∠EAB=〖80〗^°，∠ECD=〖110〗^°，
∴∠EAB=∠EFC=〖80〗^°，
∴∠E=〖110〗^°-〖80〗^°=〖30〗^°.
故選：A.
直接利用平行線的性質得出∠EAB=∠EFC=〖80〗^°，進而利用三角形的外角得出答案.
此題主要考查了平行線的性質，作出正確輔助線是解題關鍵.
某小區居民利用“健步行APP”開展健步走活動，為了解居民的健步走情況，小文同學調查了部分居民某天行走的步數(單位：千步)，并將樣本數據整理繪制成如下不完整的頻數分布直方圖和扇形統計圖.
有下面四個推斷：
①小文此次一共調查了200位小區居民;
②行走步數為8～12千步的人數超過調查總人數的一半;
③行走步數為4～8千步的人數為50人;
④行走步數為12～16千步的扇形圓心角是〖72〗^°.
根據統計圖提供的信息，上述推斷合理的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】C
【解析】解：①小文此次一共調查了70÷35%=200位小區居民，正確;
②行走步數為8～12千步的人數為70，未超過調查總人數的一半，錯誤;
③行走步數為4～8千步的人數為200×25%=50人，正確;
④行走步數為12～16千步的扇形圓心角是〖360〗^°×20%=〖72〗^°，正確;
故選：C.
由8～12千步的人數及其所占百分比可判斷①;由行走步數為8～12千步的人數為70，未超過調查總人數的一半可判斷②;總人數乘以4～8千步的人數所占比例可判斷③;用〖360〗^°乘以12～16千步人數所占比例可判斷④.
本題考查了頻數(率)直方圖：提高讀頻數分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力;利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題.
二、填空題(本大題共8小題，共16.0分)
4是______的算術平方根.
【答案】16
【解析】解：∵4^2=16，
∴4是16的算術平方根.
故答案為：16.
如果一個非負數x的平方等于a，那么x是a的算術平方根，由此即可求出結果.
此題主要考查了算術平方根的概念，牢記概念是關鍵.
若a
【答案】<;>
【解析】解：若a
故答案為：<;>.
根據不等式的3個性質解答即可.
考查不等式性質的應用;用到的知識點為：不等式的兩邊加上或減去同一個數或式子，不等號的方向不變;乘以或除以同一個不為0的正數，不等號的方向不變;乘以或除以同一個不為0的負數，不等號的方向改變.
x的3倍與4的差是負數，用不等式表示為______.
【答案】3x-4<0
【解析】解：x的3倍與4的差是負數，用不等式表示為3x-4<0，
故答案為：3x-4<0.
“x的3倍”即3x，“與4的差”可表示為3x-4，根據負數即“<0”可得不等式.
此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，讀懂題意，抓住關鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關系，才能把文字語言的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式.
一個多邊形的每個外角都是〖60〗^°，則這個多邊形邊數為______.
【答案】6
【解析】解：360÷60=6.
故這個多邊形邊數為6.
故答案為：6.
利用外角和除以外角的度數即可得到邊數.
此題主要考查了多邊形的外角和，關鍵是掌握任何多邊形的外角和都〖360〗^°.
若點P(x-3,2)位于第二象限，則x的取值范圍是______.
【答案】x<3
【解析】解：∵點P(x-3,2)位于第二象限，
∴x-3<0，
解得：x<3，
故答案為：x<3.
點在第二象限時，橫坐標<0，縱坐標>0，可得關于x的不等式，解可得答案.
本題主要考查解一元一次不等式，解決本題的關鍵是記住各個象限內點的坐標的符號，進而轉化為解不等式的問題.
如圖，AB//CD，請寫出圖中一對相等的角：______;
要使∠A=∠B成立，需再添加的一個條件為：______.
【答案】答案不唯一：∠2=∠A或∠3=∠B;∠2=∠B，或∠3=∠A，或∠2=∠3，或CD是∠ACE的平分線……
【解析】解：如圖，AB//CD，請寫出圖中一對相等的角：答案不唯一：∠2=∠A，或∠3=∠B;
要使∠A=∠B成立，需再添加的一個條件為：∠2=∠B或∠3=∠A或∠2=∠3，或CD是∠ACE的平分線…….
故答案為：答案不唯一：∠2=∠A或∠3=∠B;∠2=∠B，或∠3=∠A，或∠2=∠3，或CD是∠ACE的平分線…….
直接利用平行線的判定與性質分別判斷得出答案.
此題主要考查了平行線的性質，正確數形結合分析是解題關鍵.
根據《中華人民共和國2017年國民經濟和社會發展統計公報》，我國2013-2017年農村貧困人口統計如圖所示.根據統計圖中提供的信息，預估2018年年末全國農村貧困人口約為______萬人，你的預估理由是______.
【答案】1700;預估理由需包含統計圖提供的信息，且支撐預估的數據.
參考答案①：2000，按每年平均減少人數近似相等進行估算;
參考答案②：1700，按2016-2018年貧困人口數呈直線下降進行估算
【解析】解：2018年年末全國農村貧困人口約為1700萬人，
預估理由：由統計圖可知，2016～2017減少約1300萬，則2017～2018減少約為1300萬，故2018年農村貧困人口約為1700萬，
故答案為：1700、由統計圖可知，2016～2017減少約1300萬，則2017～2018減少約為1300萬，故2018年農村貧困人口約為1700萬.
根據統計圖可以得到得到各年相對去年減少的人數，從而可以預估2018年年末全國農村貧困人口約為多少萬人，并說明理由.
本題考查用樣本估計總體、條形統計圖，解題的關鍵是明確條形統計圖的特點，從中可以得到我們需要的信息.
在一次數學活動課上，老師讓同學們借助一副三角板畫平行線AB，CD.下面是小楠、小曼兩位同學的作法：
老師說：“小楠、小曼的作法都正確.”
請回答：小楠的作圖依據是______;
小曼的作圖依據是______.
【答案】同位角相等，兩直線平行(或垂直于同一直線的兩條直線平行);內錯角相等，兩直線平行
【解析】解：
∵∠B=∠D=〖90〗^°，
∴AB//CD(同位角相等，兩直線平行);
∵∠ABC=∠DCB=〖90〗^°，
∴AB//CD(內錯角相等，兩直線平行)，
故答案為：同位角相等，兩直線平行(或垂直于同一直線的兩條直線平行);內錯角相等，兩直線平行.
由平行線的判定方法即可得到小楠、小曼的作圖依據.
本題考查了作圖-復雜作圖和平行線的判定方法，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.
三、計算題(本大題共3小題，共16.0分)
解不等式組：{■((2x+3)/5<1@2(x-1)-1≤5x+3)┤，并把它的解集在數軸上表示出來.
【答案】解：{■((2x+3)/5<1&①@2(x-1)-1≤5x+3&②)┤，
解不等式①，得x<1，
解不等式②，得x≥-2，
∴不等式組的解集是-2≤x<1.
解集在數軸上表示如圖：
【解析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在數軸上表示出來即可.
本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.
已知x=√5，y=1/3，求代數式(3xy^2-2xy)÷xy+(2x)^2+3的值.
【答案】解：(3xy^2-2xy)÷xy+(2x)^2+3
=3y-2+4x^2+3
=4x^2+3y+1.
當x=√5，y=1/3時，原式=4×(√5 )^2+3×1/3+1=22.
【解析】根據多項式除以單項式和積的乘方可以化簡題目中的式子，然后將x、y的值代入化簡后的式子即可解答本題.
本題考查整式的混合運算-化簡求值，解答本題的關鍵是明確整式化簡求值的方法.
閱讀下列材料并解答問題：
數學中有很多恒等式可以用圖形的面積來得到.例如，圖1中陰影部分的面積可表示為a^2-b^2;若將陰影部分剪下來，重新拼成一個矩形(如圖2)，它的長，寬分別是a+b，a-b，由圖1，圖2中陰影部分的面積相等，可得恒等式(a+b)(a-b)=a^2-b^2.
(1)觀察圖3，根據圖形，寫出一個代數恒等式：______;
(2)現有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖4所示.請你仿照圖3，用拼圖的方法推出恒等式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，畫出你的拼圖并標出相關數據;
(3)利用前面推出的恒等式(a+b)(a-b)=a^2-b^2和(a+b)^2=a^2+2ab+b^2計算：
①(√3+√2)(√3-√2);
②(x+2)^2.
【答案】(a+b)(2a+b)=2a^2+3ab+b^2
【解析】解：(1)由圖3知，等式為：(a+b)(2a+b)=2a^2+3ab+b^2，
故答案為：(a+b)(2a+b)=2a^2+3ab+b^2;
(2)如圖所示：
由圖可得(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;
(3)①原式=(√3 )^2-(√2 )^2=3-2=1;
②(x+2)^2=x^2+2×x×2+2^2=x^2+4x+4.
(1)根據面積的兩種表達方式得到圖3所表示的代數恒等式;
(2)作邊長為a+b的正方形即可得;
(3)套用所得公式計算可得.
本題考查了完全平方公式的幾何背景，根據矩形的面積公式分整體與部分兩種思路表示出面積，然后再根據同一個圖形的面積相等即可解答.
四、解答題(本大題共8小題，共44.0分)
計算：|1-√3|-√9+∛(-8).
【答案】解：原式=√3-1-3-2
=√3-6.
【解析】直接利用立方根以及算術平方根的定義化簡進而得出答案.
此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵.
按照下列要求畫圖并作答：
如圖，已知△ABC.
(1)畫出BC邊上的高線AD;
(2)畫∠ADC的對頂角∠EDF，使點E在AD的延長線上，DE=AD，點F在CD的延長線上，DF=CD，連接EF，AF;
(3)猜想線段AF與EF的大小關系是：______;直線AC與EF的位置關系是：______.
【答案】AF=EF;AC//EF
【解析】解：(1)如圖所示：高線AD即為所求;
(2)如圖所示：
(3)猜想線段AF與EF的大小關系是：AF=EF;
理由：在△ADF和△EDF中
{■(AD=DE@∠ADF=∠EDF=〖90〗^°@DF=DF)┤，
∴△ADF≌△EDF(SAS)，
∴AF=EF;
直線AC與EF的位置關系是：AC//EF.
理由：在△ADC和△EDF中
{■(AD=ED@∠ADC=∠EDF@DC=DF)┤，
∴△ADC≌△EDF(SAS)，
∴∠ACD=∠EFD，
∴AC//EF.
故答案為：AF=EF;AC//EF.
(1)直接利用鈍角三角形高線的作法得出答案;
(2)利用圓規與直尺截取得出E，F位置進而得出答案;
(3)利用已知線段和角的度數利用全等三角形的判定與性質分析得出答案.
此題主要考查了基本作圖，正確作出鈍角三角形的高線是解題關鍵.
如圖，AB//CD，DE⊥AC，垂足為E，∠A=〖105〗^°，求∠D的度數.
【答案】解：∵AB//CD，(已知)
∴∠A+∠C=〖180〗^°.(兩直線平行，同旁內角互補)，
∵∠A=〖105〗^°，(已知)
∴∠C=〖180〗^°-〖105〗^°=〖75〗^°.(等量代換)
又∵DE⊥AC，(已知)
∴∠DEC=〖90〗^°，(垂直定義)
∴∠C+∠D=〖90〗^°.(直角三角形的兩個銳角互余)
∴∠D=〖90〗^°-〖75〗^°=〖15〗^°.(等量代換)
【解析】直接利用平行線的性質得出∠A+∠C=〖180〗^°，進而得出∠C的度數，再利用垂直的定義得出∠C+∠D=〖90〗^°，即可得出答案.
此題主要考查了平行線的性質以及垂線，得出∠C的度數是解題關鍵.
小誠響應“低碳環保，綠色出行”的號召，一直堅持跑步與步行相結合的上學方式.已知小誠家距離學校2200米，他步行的平均速度為80米/分，跑步的平均速度為200米/分.若他要在不超過20分鐘的時間內從家到達學校，至少需要跑步多少分鐘?
【答案】解：設他需要跑步x分鐘，由題意可得
200x+80(20-x)≥2200，
解得，x≥5.
答：小誠至少需要跑步5分鐘.
【解析】設他需要跑步x分鐘，根據題意可以列出相應的不等式，從而可以解答本題.
本題考查一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的不等式.
天壇是明清兩代皇帝每年祭天和祈禱五谷豐收的地方，以其嚴謹的建筑布局、奇特的建筑構造和瑰麗的建筑裝飾著稱于世，被列為世界文化遺產.
小惠同學到天壇公園參加學校組織的綜合實踐活動，她分別以正東，正北方向為x軸，y軸的正方向建立了平面直角坐標系描述各景點的位置.
小惠：“百花園在原點的西北方向;表示回音壁的點的坐標為(0,-2).”
請依據小惠同學的描述回答下列問題：
(1)請在圖中畫出小惠同學建立的平面直角坐標系;
(2)表示無梁殿的點的坐標為______;
表示雙環萬壽亭的點的坐標為______;
(3)將表示祈年殿的點向右平移2個單位長度，再向下平移0.5個單位長度，得到表示七星石的點，那么表示七星石的點的坐標是______.
【答案】(-4,0);(-4,4);(2,3.5)
【解析】解：(1)畫出平面直角坐標系如圖;
(2)表示無梁殿的點的坐標為點(-4,0);
表示雙環萬壽亭的點的坐標為(-4,4);
故答案為：(-4,0)，(-4,4);
(3)表示七星石的點的坐標是(2,3.5).
故答案為：(2,3.5).
(1)直接利用回音壁的點的坐標為(0,-2)，得出原點位置，建立平面直角坐標系即可;
(2)利用所畫平面直角坐標系得出各點坐標即可;
(3)利用平移的性質得出七星石的點的坐標.
此題主要考查了平移變換以及點的坐標，正確建立平面直角坐標系是解題關鍵.
為了解飲料自動售貨機的銷售情況，有關部門從北京市所有的飲料自動售貨機中隨機抽取20臺進行了抽樣調查，記錄下某一天各自的銷售情況(單位：元)，并對銷售金額進行分組，整理成如下統計表：
28，8，18，63，15，30，70，42，36，47，
25，58，64，58，55，41，58，65，72，30
銷售金額x 0≤x<20 20≤x<40 40≤x<60 60≤x<80
劃記 ______ ______
頻數 3 5 ______ ______
(1)請將表格補充完整;
(2)用頻數分布直方圖將20臺自動售貨機的銷售情況表示出來，并在圖中標明相應數據;
(3)根據繪制的頻數分布直方圖，你能獲取哪些信息?(至少寫出兩條不同類型信息)
【答案】 ; ;7;5
【解析】解：(1)補全表格如下：
銷售金額x 0≤x<20 20≤x<40 40≤x<60 60≤x<80
劃記
頻數 3 5 7 5
(2)頻數分布直方圖如下：
(3)銷售額在40≤x<60的飲料自動售貨機最多，有7臺;
銷售額在0≤x<20的飲料自動售貨機最少，只有3臺;
銷售額在20≤x<40和40≤x<80的飲料自動售貨機的數量相同.
(1)根據已知數據補全即可;
(2)根據頻數分布直方圖的制作可得;
(3)由頻數分布直方圖得出合理信息即可.
本題主要考查了統計表、條形統計圖的應用，關鍵是正確從統計表中得到正確的信息，條形統計圖表示的是事物的具體數量.
△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AE⊥BC，垂足為E，作CF//AD，交直線AE于點F.設∠B=α，∠ACB=β.
(1)若∠B=〖30〗^°，∠ACB=〖70〗^°，依題意補全圖1，并直接寫出∠AFC的度數;
(2)如圖2，若∠ACB是鈍角，求∠AFC的度數(用含α，β的式子表示);
(3)如圖3，若∠B>∠ACB，直接寫出∠AFC的度數(用含α，β的式子表示).
【答案】解：(1)如圖1，
∵∠B=〖30〗^°，∠ACB=〖70〗^°，
∴∠BAC=〖180〗^°-∠B-∠ACB=〖80〗^°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAD=1/2∠CAB=〖40〗^°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=〖90〗^°，
∵∠ACB=〖70〗^°，
∴∠EAC=〖180〗^°-〖90〗^°-〖70〗^°=〖20〗^°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=〖40〗^°-〖20〗^°=〖20〗^°，
∵CF//AD，
∴∠AFC=∠DAE=〖20〗^°;
(2)如圖2，
∵△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=〖180〗^°，
∴∠BAC=〖180〗^°-(∠B+∠ACB)
=〖180〗^°-(α+β)，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=1/2∠BAC=〖90〗^°-1/2(α+β)，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=α+〖90〗^°-1/2(α+β)=〖90〗^°-1/2(β-α)，
∵AE⊥BC，
∴∠DAE+∠ADE=〖90〗^°，
∴∠DAE=〖90〗^°-∠ADE=1/2(β-α)，
∵CF//AD，
∴∠DAE+∠AFC=〖180〗^°，
∴∠AFC=〖180〗^°-1/2(β-α);
(3)如圖3，
∵△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=〖180〗^°，
∴∠BAC=〖180〗^°-(∠B+∠ACB)
=〖180〗^°-(α+β)，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAD=1/2∠BAC=〖90〗^°-1/2(α+β)，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=〖90〗^°，
∵∠ACB=β，
∴∠EAC=〖180〗^°-〖90〗^°-β=〖90〗^°-β，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=(〖90〗^°-β)-[〖90〗^°-1/2(α-β)]=1/2(α-β).
【解析】(1)先根據三角形內角和定理求出∠BAC和∠CAE，根據角平分線定義求出∠CAD，即可求出答案;
(2)先根據三角形內角和定理求出∠BAC，根據角平分線定義求出∠BAD，根據三角形外角性質求出∠ADC，根據三角形內角和定理求出∠DAE，根據平行線的性質求出即可;
(3)求出∠DAE度數，根據平行線的性質求出即可.
本題考查了三角形內角和定理、三角形角平分線定義、三角形的高、平行線的性質等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵.
在平面直角坐標系xOy中，對于點P(x,y)，若點Q的坐標為(ax+y,x+ay)，其中a為常數，則稱點Q是點P的“a級關聯點”.例如，點P(1,4)的“3級關聯點”為Q(3×1+4,1+3×4)，即Q(7,13).
(1)已知點A(-2,6)的“1/2級關聯點”是點A_1，點B的“2級關聯點”是B_1 (3,3)，求點A_1和點B的坐標;
(2)已知點M(m-1,2m)的“-3級關聯點”M'位于y軸上，求M'的坐標;
(3)已知點C(-1,3)，D(4,3)，點N(x,y)和它的“n級關聯點”N'都位于線段CD上，請直接寫出n的取值范圍.
【答案】解：(1)∵點A(-2,6)的“1/2級關聯點”是點A_1，
∴A_1 (-2×1/2+6,-2+1/2×6)，
即A_1 (5,1).
設點B(x,y)，
∵點B的“2級關聯點”是B_1 (3,3)，
∴{■(〖x+2y=3〗┴(2x+y=3) )┤
解得{■(〖y=1.〗┴(x=1) )┤
∴B(1,1).
(2)∵點M(m-1,2m)的“-3級關聯點”為M'(-3(m-1)+2m,m-1+(-3)×2m)，
M'位于y軸上，
∴-3(m-1)+2m=0，
解得：m=3
∴m-1+(-3)×2m=-16，
∴M'(0,-16).
(3)∵點N(x,y)和它的“n級關聯點”N'都位于線段CD上，
∴N'(nx+y,x+ny)，
∴{■(〖-1
∴x=3n-3
∴{■(-1<3-3n<4@-4/3
解得：-1/3≤n≤4/3.
【解析】(1)根據關聯點的定義，結合點的坐標即可得出結論.
(2)根據關聯點的定義和點M(m-1,2m)的“-3級關聯點”M'位于y軸上，即可求出M'的坐標.
(3)因為點C(-1,3)，D(4,3)，得到y=3，由點N(x,y)和它的“n級關聯點”N'都位于線段CD上，可得到方程組，解答即可.
本題考查一次函數圖象上的坐標的特征，“關聯點”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.
八年級數學下期末考試試卷閱讀
一、選擇題(本題共30分，每小題3分)
下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的.
1.使二次根式 有意義的x的取值范圍是( ).
A. B. C. D.
【專題】常規題型.
【分析】直接利用二次根式有意義的條件進而分析得出答案.
【解答】
故選：B.
【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關鍵.
2.《國家寶藏》節目立足于中華文化寶庫資源，通過對文物的梳理與總結，演繹文物背后的故事與歷史，讓更多的觀眾走進博物館，讓一個個館藏文物鮮活起來.下面四幅圖是我國一些博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是( ).
A B C D
【專題】常規題型.
【分析】根據中心對稱圖形的定義和圖案特點即可解答.
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故選項錯誤;
B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;
C、是中心對稱圖形，故選項正確;
D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.
故選：C.
【點評】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.
3.下列條件中，不能判定一個四邊形是平行四邊形的是( ).
A.兩組對邊分別平行 B.兩組對邊分別相等
C.兩組對角分別相等 D.一組對邊平行且另一組對邊相等
【專題】多邊形與平行四邊形.
【分析】根據平行四邊形的判定方法一一判斷即可.
【解答】解：A、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意;
B、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意;
C、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意;
D、一組對邊平行且另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，可能是等腰梯形，故本選項符合題意;
故選：D.
【點評】本題考查平行四邊形的判定，解題的關鍵是記住平行四邊形的判定方法.
4.若點A(，m)，B( ，n)都在反比例函數 的圖象上，則m與n的大小關系是( ).
A. B. C. D.無法確定
【專題】函數思想.
【分析】把所給點的橫縱坐標代入反比例函數的解析式，求出mn的值，比較大小即可.
【解答】
∴m
故選：A.
【點評】本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數上的點的橫縱坐標的積等于比例系數.
5.如圖，菱形ABCD中，點E，F分別是AC，DC的中點.
若EF=3，則菱形ABCD的周長為( ).
A.12 B.16
C.20 D.24
【專題】幾何圖形.
【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出AD，再根據菱形的周長公式列式計算即可得解.
【解答】解：∵E、F分別是AC、DC的中點，
∴EF是△ADC的中位線，
∴AD=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周長=4AD=4×6=24.
故選：D.
【點評】本題主要考查了菱形的四條邊都相等，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，求出菱形的邊長是解題的關鍵.
6.近幾年，手機支付用戶規模增長迅速，據統計2015年手機支付用戶約為3.58億人，連續兩年增長后，2017年手機支付用戶達到約5.27億人.如果設這兩年手機支付用戶的年平均增長率為x，則根據題意可以列出方程為( ).
A. B.
C. D.
【專題】常規題型.
【分析】如果設這兩年手機支付用戶的年平均增長率為x，那么2016年手機支付用戶約為3.58(1+x)億人，2017年手機支付用戶約為3.58(1+x)2億人，而2017年手機支付用戶達到約5.27億人，根據2017年手機支付用戶的人數不變，列出方程.
【解答】解：設這兩年手機支付用戶的年平均增長率為x，依題意，得
3.58(1+x)2=5.27.
故選：C.
【點評】本題考查的是由實際問題抽象出一元二次方程-平均增長率問題.解決這類問題所用的等量關系一般是：增長前的量×(1+平均增長率)增長的次數=增長后的量.
7.甲、乙兩位射擊運動員的10次射擊練習成績的折線
統計圖如圖所示，則下列關于甲、乙這10次射擊成
績的說法中正確的是( ).
A.甲的成績相對穩定，其方差小
B.乙的成績相對穩定，其方差小
C.甲的成績相對穩定，其方差大
D.乙的成績相對穩定，其方差大
【專題】常規題型.
【分析】結合圖形，乙的成績波動比較小，則波動大的方差就小.
【解答】解：從圖看出：乙選手的成績波動較小，說明它的成績較穩定，甲的波動較大，則其方差大，
故選：B.
【點評】此題考查了方差的意義.方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定;反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定.
8.已知△ABC的三邊長分別是a，b，c，且關于x的一元二次方程 有兩 個相等的實數根，則可推斷△ABC一定是( ).
A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形
【專題】計算題.
【分析】根據判別式的意義得到△=(-2a)2-4(c2-b2)=0，然后根據勾股定理的逆定理判斷三角形為直角三角形.
【解答】解：根據題意得△=(-2a)2-4(c2-b2)=0，
所以a2+b2=c2，
所以△ABC為直角三角形，∠ACB=90°.
故選：C.
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac有如下關系：當△>0時，方程有兩個不相等的實數根;當△=0時，方程有兩個相等的實數根;當△<0時，方程無實數根.也考查勾股定理的逆定理.
9.如圖，在△OAB中，∠AOB=55°，將△OAB在平面內繞點O順時針
旋轉到△OA′B′ 的位置，使得BB′∥AO，則旋轉角的度數為( ).
A.125° B.70°
C.55° D.15°
【專題】平移、旋轉與對稱.
【分析】據兩直線平行，內錯角相等可得∠AOB=∠B'BO=55°，根據旋轉的性質可得OB=OB′，然后利用等腰三角形兩底角相等可得∠BOB′，即可得到旋轉角的度數.
【解答】解：∵BB′∥AO，
∴∠AOB=∠B'BO=55°，
又∵OB=OB′，
∴△BOB'中，∠BOB'=180°-2×55°=70°，
∴旋轉角的度數為70°，
故選：B.
【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形兩底角相等的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵.
10.已知某四邊形的兩條對角線相交于點O.動點P從點A出發，
沿四邊形的邊按A→B→C的路徑勻速運動到點C.設點P運
動的時間為x，線段OP的長為y，表示y與x的函數關系的
圖象大致如右圖所示，則該四邊形可能是( ).
A B C D
【專題】函數及其圖像.
【分析】通過點P經過四邊形各個頂點，觀察圖象的對稱趨勢問題可解.
【解答】解：C、D選項A→B→C路線都關于對角線BD對稱，因而函數圖象應具有對稱性，故C、D錯誤，對于選項B點P從A到B過程中OP的長也存在對稱性，則圖象前半段也應該具有對稱特征，故B錯誤.
故選：A.
【點評】本題動點問題的函數圖象，考查學生對動點運動過程中所產生函數圖象的變化趨勢判斷.解答關鍵是注意動點到達臨界前后的圖象變化
二、填空題(本題共24分，每小題3分)
11.計算： _________.
【專題】計算題.
【分析】先進行二次根式的乘法運算，然后化簡后合并即可.
【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍.
12.若平行四邊形中兩個內角的度數比為1:2，則其中一個較小的內角的度數是 °.
【分析】首先設平行四邊形中兩個內角的度數分別是x°，2x°，由平行四邊形的鄰角互補，即可得方程x+2x=180，繼而求得答案.
【解答】解：設平行四邊形中兩個內角的度數分別是x°，2x°，
則x+2x=180，
解得：x=60，
∴其中較小的內角是：60°.
故答案為：60°.
【點評】此題考查了多邊形的內角和外角，平行四邊形的性質.注意平行四邊形的鄰角互補.
13.如圖，一根垂直于地面的木桿在離地面高3m處折斷,若木桿
折斷前的高度為8m，則木桿頂端落在地面的位置離木桿底端
的距離為 m.
【專題】常規題型.
【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運用勾股定理即可求出斜邊，從而得出木桿頂端落在地面的位置離木桿底端的距離.
【解答】解：∵一棵垂直于地面的木桿在離地面3米處折斷，木桿折斷前的高度為8m，
故答案為：4.
【點評】此題考查了勾股定理的應用，主要考查學生對勾股定理在實際生活中的運用能力.
14.將一元二次方程 通過配方轉化成 的形式( ， 為常數)，則 =_________， =_________.
【專題】計算題;一元二次方程及應用.
【分析】依據配方法的一般步驟：(1)把常數項移到等號的右邊;(2)把二次項的系數化為1;(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方求解可得.
【解答】解：∵x2+8x+13=0，
∴x2+8x=-13，
則x2+8x+16=-13+16，即(x+4)2=3，
∴n=4、p=3，
故答案為：4、3.
【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用.選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數.
15.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，
若∠AOD=120°， AB=2，則BC的長為 .
【分析】由條件可求得△AOB為等邊三角形，則可求得AC的長，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的長.
【解答】解：
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AO=OC=OB，
∴△AOB為等邊三角形，
∴AO=OB=OC=AB=2，
∴AC=4，
【點評】本題主要考查矩形的性質，掌握矩形的對角線相等且互相平分是解題的關鍵.
16.已知一個反比例函數的圖象與正比例函數 的圖象
有交點，請寫出一個滿足上述條件的反比例函數的表達式： .
【專題】常規題型.
【分析】寫一個經過一、三象限的反比例函數即可.
【解答】
【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.也考查了待定系數法求函數解析式.
17.某汽車制造商對新投入市場的兩款汽車進行了調查，這兩款汽車的各項得分如下表所示：
汽車型號 安全性能 省油效能 外觀吸引力 內部配備
A 3 1 2 3
B 3 2 2 2
(得分說明：3分——極佳，2分——良好，1分——尚可接受)
(1)技術員認為安全性能、省油效能、外觀吸引力、內部配備這四項的占比分別為30%，30%，20%，20%，并由此計算得到A型汽車的綜合得分為2.2，B型汽車的綜合得分為 ;
(2)請你寫出一種各項的占比方式，使得A型汽車的綜合得分高于B型汽車的綜合得分.(說明：每一項的占比大于0，各項占比的和為100%)
答：安全性能：______，省油效能：______，外觀吸引力：______，內部配備：______.
【專題】常規題型.
【分析】(1)根據加權平均數的計算公式列式計算即可;
(2)要使得A型汽車的綜合得分高于B型汽車的綜合得分，根據這兩款汽車的各項得分，將A型汽車高于B型汽車得分的項(內部配備)占比較高，同時將A型汽車低于B型汽車得分的項(省油效能)占比較低即可.
【解答】解：B型汽車的綜合得分為：3×30%+2×30%+2×20%+2×20%=2.3.
故答案為2.3;(2)∵A型汽車的綜合得分高于B型汽車的綜合得分，
∴各項的占比方式可以是：安全性能：30%，省油效能：10%，外觀吸引力：10%，內部配備50%.
故答案為30%，10%，10%，50%.
【點評】本題考查的是加權平均數的求法，掌握公式是解題的關鍵.
18.已知三角形紙片ABC的面積為48，BC的長為8.按下列步驟將三角形紙片ABC進行裁剪和拼圖：
第一步：如圖1，沿三角形ABC的中位線DE將紙片剪成兩部分.在線段DE上任意取一點F，在線段BC上任意取一點H，沿FH將四邊形紙片DBCE剪成兩部分;
第二步：如圖2，將FH左側紙片繞點D旋轉180°，使線段DB與DA重合;將FH右側紙片繞點E旋轉180°，使線段EC與EA重合，再與三角形紙片ADE拼成一個與三角形紙片ABC面積相等的四邊形紙片.
(1)當點F，H在如圖2所示的位置時，請按照第二步的要求，在圖2中補全拼接成的四邊形;
(2)在按以上步驟拼成的所有四邊形紙片中，其周長的最小值為_________.
【專題】綜合題.
【分析】(1)利用旋轉的旋轉即可作出圖形;
(2)先求出△ABC的邊長邊上的高為12，進而求出DE與BC間的距離為6，再判斷出FH最小時，拼成的四邊形的周長最小，即可得出結論.
【解答】解：(1)∵DE是△ABC的中位線，
∴四邊形BDFH繞點D順時針旋轉，點B和點A重合，
四邊形CEFH繞點E逆時針旋轉，點C和點A重合，
∴補全圖形如圖1所示，
(2)∵△ABC的面積是48，BC=8，
∴點A到BC的距離為12，
∵DE是△ABC的中位線，
∴平行線DE與BC間的距離為6，
由旋轉知，∠DAH''=∠B，∠CAH'=∠C，
∴∠DAH''+∠BAC+∠CAH'=180°，
∴點H''，A，H'在同一條直線上，
由旋轉知，∠AEF'=∠CEF，
∴∠AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=180°，
∴點F，E，F'在同一條直線上，
同理：點F，D，F''在同一條直線上，
即：點F'，F''在直線DE上，
由旋轉知，AH''=BH，AH'=CH，DF''=DF，EF'=EF，F''H''=FH=F'H'，
∴F'F''=2DE=BC=H'H''，
∴四邊形F'H'H''F''是平行四邊形，
∴▱F'H'H''F''的周長為2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH，
∵拼成的所有四邊形紙片中，其周長的最小時，FH最小，
即：FH⊥BC，
∴FH=6，
∴周長的最小值為16+2×6=28，
故答案為28.
【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉的旋轉和作圖，判斷三點共線的方法，平行四邊形的判斷和性質，判斷出四邊形F'H'H''F''是平行四邊形是解本題的關鍵.
三、解答題(本題共46分，第19題8分，第24、25題每小題7分，其余每小題6分)
19.解方程：
(1) ; (2) .
解： 解：
【專題】常規題型.
【分析】(1)先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)先求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可.
【解答】解：(1)x2-4x-5=0，
分解因式得：(x-5)(x+1)=0，
x-5=0，x+1=0，
x1=5，x2=-1;
(2)2x2-2x-1=0，
a=2，b=-2，c=-1，
△=b2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12>0，
【點評】本題考查了解一元二次方程，能選項適當的方法解一元二次方程是解此題的關鍵.
20.如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，將BD向兩個方向延長，分別至點E和點F，且使BE=DF.
(1)求證：四邊形AECF是菱形;
(2)若AC=4，BE=1，直接寫出菱形AECF的邊長.
(1)證明：
(2)菱形AECF的邊長為____________.
【專題】幾何圖形.
【分析】(1)根據正方形的性質和菱形的判定解答即可;
(2)根據正方形和菱形的性質以及勾股定理解答即可.
【解答】(1)證明：∵正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，
∴OA=OC，OB=OD，
AC⊥BD.
∵BE=DF，
∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF.
∴四邊形AECF是平行四邊形.
∵AC⊥EF，
∴四邊形AECF是菱形.
(2)∵AC=4，
∴OA=2，
∴OB=2，
∴OE=OB+BE=3，
【點評】此題考查了菱形的性質和判定，解題時要注意選擇適宜的判定方法.
21. 已知關于的一元二次方程 .
(1)求證：此方程總有兩個實數根;
(2)若此方程有一個根大于0且小于1，求 的取值范圍.
(1)證明：
(2)解：
【專題】一次方程(組)及應用.
【分析】(1)根據方程的系數結合根的判別式，求得判別式△≥0恒成立，因此得證，
(2)利用求根公式求根，根據有一個跟大于0且小于1，列出關于k的不等式組，解之即可.
【解答】(1)證明：△=b2-4ac=[-(k+1)]2-4×(2k-2)=k2-6k+9=(k-3)2，
∵(k-3)2≥0，即△≥0，
∴此方程總有兩個實數根，
解得 x1=k-1，x2=2，
∵此方程有一個根大于0且小于1，
而x2>1，
∴0
即0
∴1
即k的取值范圍為：1
【點評】本題考查了根的判別式，解題的關鍵是：(1)牢記“當△≥0時，方程總有兩個實數根”，(2)正確找出不等量關系列不等式組
22.小梅在瀏覽某電影評價網站時，搜索了最近關注到的甲、乙、丙三部電影，網站通過對觀眾的抽樣調查，得到這三部電影的評分數據統計圖分別如下：
甲、乙、丙三部電影評分情況統計圖
根據以上材料回答下列問題：
(1)小梅根據所學的統計知識，對以上統計圖中的數據進行了分析，并通過計算得到這三部電影抽樣調查的樣本容量，觀眾評分的平均數、眾數、中位數，請你將下表補充完整：
甲、乙、丙三部電影評分情況統計表
電影 樣本容量 平均數 眾數 中位數
甲 100 3.45 5
乙 3.66 5
丙 100 3 3.5
(2)根據統計圖和統計表中的數據，可以推斷其中_______電影相對比較受歡迎，理由是
.(至少從兩個不同的角度說明你推斷的合理性)
【專題】常規題型;統計的應用.
【分析】(1)根據眾數、中位數和平均數的定義，結合條形圖分別求解可得;
(2)從平均數、中位數和眾數的意義解答，合理即可.
【解答】解：(1)甲電影的眾數為5分，
補全表格如下表所示：
甲、乙、丙三部電影評分情況統計表
電影 樣本容量 平均數 眾數 中位數
甲 100 3.45 5 5
乙 100 3.66 5 4
丙 100 3.78 3 3.5
(2)丙，①丙電影得分的平均數最高;②丙電影得分沒有低分.
【點評】此題考查了條形統計圖，表格，中位數，眾數，弄清題意是解本題的關鍵.
23.如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°.點A的坐標為(1，0)，點C的坐標為(3，4)，M是BC邊的中點，函數 ( )的圖象經過點M.
(1)求k的值;
(2)將△ABC繞某個點旋轉180°后得到△DEF(點A，B，C的對應點分別為點D，E，F)，且EF在y軸上，點D在函數 ( )的圖象上，求直線DF的表達式.
解：(1)
【專題】函數思想.
【分析】(1)根據直角三角形的性質和坐標與圖形的特點求得點M的坐標，將其代入反比例函數解析式求得k的值;
(2)根據旋轉的性質推知：△DEF≌△ABC.故其對應邊、角相等：DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°.由函數圖象上點的坐標特征得到：D(2，3). E(0，3).結合EF=BC=4得到F(0，-1). 利用待定系數法求得結果.
【解答】解：(1)∵Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°，點C的坐標為(3，4)，
∴點B的坐標為(3，0)，CB=4.
∵M是BC邊的中點，
∴點M的坐標為(3，2).
∴k=3×2=6.
(2)∵△ABC繞某個點旋轉180°后得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC.
∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°.
∵點A的坐標為(1，0)，點B的坐標為(3，0)，
∴AB=2.
∴DE=2.
∵EF在y軸上，
∴點D的橫坐標為2.
當x=2時，y=3.
∴點D的坐標為(2，3).
∴點E的坐標為(0，3).
∵EF=BC=4，
∴點F的坐標為(0，-1).
設直線DF的表達式為y=ax+b，將點D，F的坐標代入，
∴直線DF的表達式為y=2x-1.
【點評】考查了待定系數法求一次函數解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，旋轉的性質，解題時，注意函數思想和數形結合數學思想的應用.
24.在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD邊于點E.點F在BC邊上，且FE⊥AE.
(1)如圖1，
①∠BEC=_________°;
②在圖1已有的三角形中，找到一對全等的三角形，并證明你的結論;
(2)如圖2，FH∥CD交AD于點H，交BE于點M.NH∥BE，NB∥HE，連接NE.
若AB=4，AH=2，求NE的長.
解：(1)②結論：△_________≌△_________;
證明：
(2)
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)根據矩形的性質得到∠ABC=∠BCD=90°，根據角平分線的定義得到∠EBC=45°，根據三角形內角和定理計算即可;
(2)利用ASA定理證明△ADE≌△ECF;
(3)連接HB，證明四邊形NBEH是矩形，得到NE=BH，根據勾股定理求出BH即可.
【解答】解：(1)①∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=45°，
∴∠BEC=45°，
故答案為：45;
②△ADE≌△ECF，
理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC.
∵FE⊥AE，
∴∠AEF=90°.
∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°.
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠FEC=∠EAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠BEC=45°.
∴∠EBC=∠BEC.
∴BC=EC.
∴AD=EC.
在△ADE和△ECF中，
∴△ADE≌△ECF;
(2)連接HB，如圖2，
∵FH∥CD，
∴∠HFC=180°-∠C=90°.
∴四邊形HFCD是矩形.
∴DH=CF，
∵△ADE≌△ECF，
∴DE=CF.
∴DH=DE.
∴∠DHE=∠DEH=45°.
∵∠BEC=45°，
∴∠HEB=180°-∠DEH-∠BEC=90°.
∵NH∥BE，NB∥HE，
∴四邊形NBEH是平行四邊形.
∴四邊形NBEH是矩形.
∴NE=BH.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAH=90°.
∵在Rt△BAH中，AB=4，AH=2，
【點評】本題考查的是矩形的判定和性質、全等三角形的判定和性質以及勾股定理的應用，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.
25.當 值相同時，我們把正比例函數 與反比例函數 叫做“關聯函數”，可以通過圖象研究“關聯函數”的性質.小明根據學習函數的經驗，先以 與 為例對“關聯函數”進行了探究.
下面是小明的探究過程，請你將它補充完整：
(1)如圖，在同一坐標系中畫出這兩個函數的圖象.
設這兩個函數圖象的交點分別為A，B，則點A
的坐標為( ， )，點B的坐標為_________;
(2)點P是函數 在第一象限內的圖象上一個動點(點P不與點B重合)，設點P的坐標為(， )，其中>0且 .
①結論1：作直線PA，PB分別與x軸交于點C，D，則在點P運動的過程中，總有PC=PD.
證明：設直線PA的解析式為 ，將點A和點P的坐標代入，
得 解得 則直線PA的解析式為 .
令 ，可得 ，則點C的坐標為( ， ).
同理可求，直線PB的解析式為 ，點D的坐標為_____________.
請你繼續完成證明PC=PD的后續過程：
②結論2：設△ABP的面積為S，則S是t的函數.請你直接寫出S與t的函數表達式.
【專題】綜合題.
【分析】(1)聯立方程組求解即可得出結論;
(2)①利用待定系數法求出直線PA的解析式，再利用待定系數法求出直線PB的解析式即可求出點D坐標，進而判斷出PM是CD的垂直平分線，即可得出結論;
②分兩種情況利用面積的和差即可得出結論;
考試結束后：同(2)②的方法即可得出結論.
令y=0，
∴x=t-2，
則點C的坐標為(t-2，0).
∴x=t+2
∴點D的坐標(t+2，0)，
如圖 ，過點P作PM⊥x軸于點M，
則點M的橫坐標為t.
∴CM=t-(t-2)=2，
DM=(t+2)-t=2.
∴CM=DM.
∴M為CD的中點.
∴PM垂直平分CD.
∴PC=PD.
【點評】此題是反比例函數綜合題，主要考查了待定系數法，三角形的面積的計算方法，線段垂直平分線的性質和判定，掌握坐標系內求幾何圖形面積的方法是解本題的關鍵.
八年級數學
試卷滿分：20分
一、填空題(本題共12分，每小題6分)
1.觀察下面的表格，探究其中的規律并填空：
一元二次方程 方程的兩個根 二次三項式分解因式
【專題】因式分解.
【分析】利用公式法對方程的左邊進行因式分解.
【解答】
【點評】考查了解一元二次方程-因式分解法.因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數學轉化思想).
2.在查閱勾股定理證明方法的過程中，小紅看到一種利用“等積變形——同底等高的兩個平行四邊形的面積相等”證明勾股定理的方法，并嘗試按自己的理解將這種方法介紹給同學.
(1)根據信息將以下小紅的證明思路補充完整：
①如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ADEC，
四邊形BCFG，四邊形ABPQ都是正方形.延長QA交
DE于點M，過點C作CN∥AM交DE的延長線于點N，
可得四邊形AMNC的形狀是_________________;
②在圖1中利用“等積變形”可得 _____________;
③如圖2，將圖1中的四邊形AMNC沿直線MQ向下平移MA
的長度，得到四邊形A’ M’N’ C’，即四邊形QACC’;
④設CC’ 交AB于點T，延長CC’交QP于點H，在圖2中
再次利用“等積變形”可得 _____________，
則有 _____________;
⑤同理可證 ，因此得到
+ ，進而證明了勾股定理.
(2)小芳閱讀完小紅的證明思路后，對其中的第③步提出了疑問，請將以下小紅對小芳的說明補充完整：
圖1中△______≌△______，則有______=AB=AQ，由于平行四邊形的對邊相等，從而四邊形AMNC沿直線MQ向下平移MA的長度，得到四邊形QACC’.
【專題】矩形 菱形 正方形.
【分析】根據平行四邊形的性質、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等高模型即可解決問題;
【解答】解：(1)∵四邊形ACED是正方形，
∴AC∥MN，∵AM∥CN，
∴四邊形AMNC是平行四邊形，
∴S正方形ADEC=S平行四邊形AMNC，
∵AD=AC，∠D=∠ACB，∠DAC=∠MAB，
∴∠DAM=∠CAB，
∴△ADM≌△ACB，
∴AM=AB=AQ，
∴圖1中的四邊形AMNC沿直線MQ向下平移MA的長度，得到四邊形A′M′N′C′，即四邊形QACC′，
∴S四邊形QACC′=S四邊形QATH，則有S正方形ADEC=S四邊形QATH，
∴同理可證S正方形BCFG=S四邊形HTBP，因此得到S正方形ADEC+S正方形BCFG=S正方形ABPQ;
故答案為平行四邊形，S四邊形AMNC，S四邊形QATH，S四邊形QATH;
(2)由(1)可知：△ADM≌△ACB，
∴AM=AB=AQ，
故答案為ADM，ACB，AM;
【點評】本題考查平行四邊形的性質、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等高模型等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，屬于中考創新題目.
二、解答題(本題8分)
3.在△ABC中，M是BC邊的中點.
(1)如圖1，BD，CE分別是△ABC的兩條高，連接MD，ME，則MD與ME的數量關系是________________;若∠A=70°，則∠DME=________°;
(2)如圖2，點D， E在∠BAC的外部，△ABD和△ACE分別是以AB，AC為斜邊的直角三角形，且∠BAD=∠CAE=30°，連接MD，ME.
①判斷(1)中MD與ME的數量關系是否仍然成立，并證明你的結論;
②求∠DME的度數;
(3)如圖3，點D，E在∠BAC的內部，△ABD和△ACE分別是以AB，AC為斜邊的直角三角形，且∠BAD=∠CAE= ，連接MD，ME.直接寫出∠DME的度數(用含 的式子表示).
解：(2)①
②
(3)∠DME= .
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)根據直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半得到MD=ME，根據三角形內角和定理求出∠DME;
(2)分別取AB，AC的中點F，H，連接FD，FM，HE，HM，證明△DFM≌△MHE，根據全等三角形的性質、三角形內角和定理計算即可;
(3)仿照(2)的證明方法解答.
【解答】解：(1)∵BD，CE分別是△ABC的兩條高，M是BC邊的中點，
∴MD=ME，∠MEB=∠ABC，∠MDC=∠ACB，
∴∠DME=180°-∠EMB-∠DMC
=180°-(180°-2∠ABC)-(180°-2∠ACB)
=180°-2∠A
=40°，
故答案為：MD=ME，40;
(2)①MD=ME仍然成立;
證明：分別取AB，AC的中點F，H，連接FD，FM，HE，HM，
∵點F，M分別是AB，BC的中點，
∴FM是△ABC的中位線.
∴∠BFM=∠BAC.
∵H是AC的中點，
∴EH是Rt△AEC的中線.
∴FM=EH.
同理可證，MH=DF.
∴∠FDA=∠FAD.
∴∠BFD=∠FDA+∠FAD=2∠FAD.
∵∠BAD=30°，
∴∠BFD=60°.
∴∠DFM=∠BFD+∠BFM=60°+∠BAC.
同理可證，MHE=60°+∠BAC.
∴∠DFM=∠MHE.
在△DFM和△MHE中，
∴△DFM≌△MHE.
∴MD=ME;
②∵HM∥AB，
∴∠FMH=∠BFM.
∵△DFM≌△MHE，
∴∠FDM=∠HME，
∴∠DME=∠EMD+∠FMH+∠HME
=∠FMD+∠BFM+∠FDM
=180°-∠BFD
=120°;
(3)由(2)可知，△DFM≌△MHE，
∴∠FMD=∠HEM，
∴∠DME=360°-∠FMD-∠FMH-∠HME
=360°-∠HEM-∠FMH-∠HME
=360°-∠HEM-∠MHE-2α-∠HEM
=180°-2α.
【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質、三角形內角和定理、直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.
八年級數學下學期期末試卷題
一、選擇題(本大題10小題，每小題3分，共30分)在每小題列出的四個選項中，只有一個是正確的，請把答題卡上對應題目所選的選項涂黑.
1. =( )
A.4 B.2 C.﹣2 D.±2
【答案】B
【分析】根據算術平方根的概念解答，注意與平方根概念的區別.
【解答】 = =2
2.一組數據5，8，8，12，12，12，44的眾數是( )
A.5 B.8 C.12 D.44【答案】C
【分析】眾數是指一組數據中出現次數最多的那個數據.
【解答】∵數據中12出現3次，出現次數最多，
∴這組數據的眾數是12，
3.若點(3，1)在一次函數y=kx﹣2的圖象上，則常數k=( )
A.5 B.4 C.3 D.1
【答案】D
【分析】一個點在函數圖象上，則這個點的坐標滿足函數解析式，所以將這個點的坐標代入解析式即可得答案.
【解答】將(3，1)代入y=kx﹣2，得
3k﹣2=1，解得k=1，
4.如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數軸于點M，則點M表示的數為( )
A.2 B. C. D.
【答案】C
【分析】首先根據勾股定理計算出AC的長，而半徑AM=AC，再根據A點表示﹣1，可得M點表示的數.
【解答】AC= = = ，
則AM= ，
∵A點表示﹣1，
∴M點表示的數為： ﹣1，
故選： C.
5.Rt△ABC中，斜邊BC=2，則AB2+BC2+CA2=( )
A.8 B.6 C.4 D.無法計算
【答案】A
【分析】利用勾股定理將AB2+AC2轉化為BC2，再求值即可.
【解答】∵Rt△ABC中，BC為斜邊，BC=2，
∴AB2+AC2=BC2=4，
∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×4=8.
故選： A.
6.在平面直角坐標系中，函數y=(k﹣1)x+(k+2)(k﹣2)的圖象不經過第二象限與第四象限，則常數k滿足( )
A.k=2 B.k=﹣2 C.k=1 D.k>1
【答案】A
【分析】根據一次函數的性質求解，畫出函數圖象求解.
【解答】∵一次函數y=(k﹣1)x+(k+2)(k﹣2)的圖象不經過第二象限與第四象限，
則k﹣1>0，且(k+2)(k﹣2)=0，解得k=2，
故選： A.
7.關于四邊形ABCD：①兩組對邊分別平行;②兩組對邊分別相等;③有一組對邊平行且相等;④對角線AC和BD相等;以上四個條件中可以判定四邊形ABCD是平行四邊形的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【答案】C
【分析】平行四邊形的五種判定方法分別是：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.按照平行四邊形的判定方法進行判斷即可.
【解答】①符合平行四邊形的定義，故①正確;
②兩組對邊分別相等，符合平行四邊形的判定條件，故②正確;
③由一組對邊平行且相等，符合平行四邊形的判定條件，故③正確;
④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故④錯誤;
所以正確的結論有三個：①②③，
故選： C.
8.在矩形ABCD中，作DE⊥AC于E，若∠ADE：∠EDC=3：2，則∠BDE=( )
A.36° B.9° C.27° D.18°
【答案】D
【分析】本題首先根據∠ADE：∠EDC=3：2可推出∠ADE以及∠EDC的度數，然后求出∠ODC即可解決問題;
【解答】∵∠ADE：∠EDC=3：2，∠ADC=90°
∴∠ADE=54°，∠EDC=36°，
又∵DE⊥AC，
∴∠DCE=90°﹣36°=54°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=54°，
∴∠BDE=∠ODC﹣∠CDE=18°
故選： D.
9.如圖，正方形ABCD的邊長為4，P為正方形邊上一動點，沿A→D→C→B→A的路徑勻速移動，設P點經過的路徑長為x，A、P、D三點連線所圍成圖形的面積是y，則能大致反映y與x之間的函數關系的圖象是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根據題意研究圖象代表意義即可.
【解答】根據題意，當點P由A到D過程中，0≤x≤4，y=0
當點P由C到B時，8≤x≤12，y=8
故選： B.
10.如圖，E是邊長為4的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE=BC，P為CE上任意一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BR于點R，則PQ+PR的值是( )
A.2 B.2 C.2 D.
【答案】A
【分析】連接BP，設點C到BE的距離為h，然后根據S△BCE=S△BCP+S△BEP求出h=PQ+PR，再根據正方形的性質求出h即可.
【解答】如圖，連接BP，設點C到BE的距離為h，
則S△BCE=S△BCP+S△BEP，
即 BE•h= BC•PQ+ BE•PR，
∵BE=BC，
∴h=PQ+PR，
∵正方形ABCD的邊長為4，
∴h=4× =2 .
故選： A.
二、填空題(本大題6小題，每小題4分，共24分)請將下列各題的正確答案填寫在答題卡相應的位置上.
11.若二次根式 有意義，則x的取值范圍是 x≥1 .
【答案】x≥1.
【分析】根據二次根式的性質可知，被開方數大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍.
【解答】根據二次根式有意義的條件，x﹣1≥0，
∴x≥1.
12.將一次函數y=3x﹣1的圖象沿y軸向 上 平移 1 個單位后，得到的圖象經過原點.
【答案】上，1.
【分析】根據“上加下減”的平移規律解答即可.
【解答】將一次函數y=3x﹣1的圖象沿y軸向上平移1個單位后，得到的圖象對應的函數關系式為y=3x﹣1+1，
即y=3x，該函數圖象經過原點.
13.某中學規定學生的學期總評成績滿分為100分，其中平時成績占20%，期中考試成績占30%，期末考試成績占50%，小明的數學三項成績(百分制)依次為85分，80分，90分，則小明這學期的數學總評成績是 86 分.
【答案】86.
【分析】根據加權平均數的計算方法，求出小明這學期的體育總評成績為多少即可.
【解答】小明這學期的數學總評成績是85×20%+80×30%+90×50%=86分，
14.如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，OE∥DC交BC于點E，AD=10cm，則OE的長為 5cm .
【答案】5cm.
【分析】只要證明OE是△ABC的中位線，從而求得OE的長.
【解答】∵OE∥DC，AO=CO，
∴OE是△ABC的中位線，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10cm，
∴OE=5cm.
15.已知一次函數y=ax+b的圖象經過點(﹣2，0)和點(0，﹣1)，則不等式ax+b>0的解集是 x<﹣2 .
【答案】x<﹣2.
【分析】根據點A和點B的坐標得到一次函數圖象經過第二、三、四象限，根據函數圖象得到當x>﹣2時，圖象在x軸上方，即y>0.
【解答】∵一次函數y=ax+b的圖象經過(﹣2，0)和點(0，﹣1)，
∴一次函數圖象經過第二、三、四象限，
∴當x<﹣2時，y>0，即ax+b>0，
∴關于x的不等式ax+b<0的解集為x<﹣2.
16.在直角坐標系中，直線y=x+2與y軸交于點A1，按如圖方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直線y=x+2上，點C1、C2、C3…在x軸上，圖中陰影部分三角形的面積從左到右依次記為S1、S2、S3、…Sn，則Sn的值為 22n﹣1 (用含n的代數式表示，n為正整數).
【答案】22n﹣1.
【分析】結合正方形的性質結合直線的解析式可得出：A2B1=OC1，A3B2=C1C2，A4B3=C2C3，…，結合三角形的面積公式即可得出：S1= OC12=2，S2= C1C22=8，S3= C2C32=32，…，根據面積的變化可找出變化規律“Sn=22n﹣1(n為正整數)”，依此規律即可得出結論.
【解答】令一次函數y=x+2中x=0，則y=2，
∴點A1的坐標為(0，2)，OA1=2.
∵四邊形AnBnCnCn﹣1(n為正整數)均為正方形，
∴A1B1=OC1=2，A2B2=C1C2=4，A3B3=C2C3=6，….
令一次函數y=x+2中x=2，則y=4，
即A2C1=4，
∴A2B1=A2C1﹣A1B1=2=A1B1，
∴tan∠A2A1B1=1.
∵AnCn﹣1⊥x軸，
∴tan∠An+1AnBn=1.
∴A2B1=OC1，A3B2=C1C2，A4B3=C2C3，….
∴S1= OC12=2，S2= C1C22=8，S3= C2C32=32，…，
∴Sn=22n﹣1(n為正整數).
故答案為：22n﹣1.
三、解答題()(本大題3小題，每小題6分，共18分)
17.計算： ﹣ +( +2)( ﹣2)+ ÷
【分析】先化簡二次根式、利用平方差公式和二次根式的除法法則計算，再合并同類二次根式即可得.
【解答】原式=4 ﹣2 +3﹣4+
=2 ﹣1+2
=4 ﹣1.
18.已知，如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC邊的中點，連DE并延長交AB的延長線于點F，求證：AB=BF.
【分析】根據線段中點的定義可得CE=BE，根據平行四邊形的對邊平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠DCB=∠FBE，然后利用“角邊角”證明△CED和△BEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CD=BF，從而得證.
【解答】證明：∵E是BC的中點，
∴CE=BE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠DCB=∠FBE，
在△CED和△BEF中，
∴△CED≌△BEF(ASA)，
∴CD=BF，
∴AB=BF.
19.已知一次函數y=kx+b的圖象經過點(0，1)和(1，﹣2).
(1)求函數的解析式;
(2)求直線y=kx+b上到x軸距離為7的點的坐標.
【分析】(1)利用待定系數法求一次函數解析式;
(2)分別求出函數值為7或﹣7對應的自變量的值即可.
【解答】(1)把(0，1)，(1，﹣2)分別代入y=kx+b得 ，解得 ，
∴一次函數解析式為y=﹣3x+1;
(2)當y=7時，﹣3x+1=7，解得x=﹣2，此時滿足條件的點的坐標為(﹣2，7);
當y=﹣7時，﹣3x+1=﹣7，解得x= ，此時滿足條件的點的坐標為( ，﹣7);
綜上所述，直線y=kx+b上到x軸距離為7的點的坐標為(﹣2，7)或( ，﹣7).
四、解答題((本大題3小題，每小題7分，共21分)
20.(7分)如圖，BD是矩形ABCD的一條對角線.
(1)作BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，垂足為點O(用尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法);
(2)求證：AF=CE.
【分析】(1)利用基本作圖作線段BD的垂直平分線即可;
(2)先證明△DOE≌△BOF得到DE=BF，然后證明四邊形AECF為平行四邊形，從而得到AF=CE.
【解答】(1)解：如圖，EF為所作;
(2)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵EF垂直平分BD，
∴BO=OD，
在△DOE和△BOF中
，
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
∴AE=CF，
而AE∥CF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∴AF=CE.
21.(7分)2017年5月，舉世矚目的“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行.為了讓學生更深刻地了解這一普惠世界的中國創舉，某校組織八年級甲班和乙班的學生開展“一帶一路”知識競賽活動.現場決賽時，甲班和乙班分別選5名同學參加比賽，成績如圖所示：
(1)根據上圖將計算結果填入下表：
平均數 中位數 眾數 方差
甲班 8.5 8.5 8.5 0.7
乙班 8.5 8 10 1.6
(2)你認為哪個班的成績較好?為什么?
【分析】(1)由條形圖分別得出甲、乙班5位同學的成績，再根據眾數、中位數和方差定義求解可得;
(2)分別從平均數、眾數、中位數和方差的角度分析可得.
【解答】(1)甲班5位同學的成績分別為8.5、7.5、8、8.5、10，
∴甲班5位同學成績的眾數為8.5、方差為 ×[(8.5﹣8.5)2×2+(7.5﹣8.5)2+(8﹣8.5)2+(10﹣8.5)2]=0.7，
乙班5位同學的成績分別為：7、10、10、7.5、8，
∴乙班5位同學成績的中位數為8，
補全表格如下：
平均數 中位數 眾數 方差
甲班 8.5 8.5 8.5 0.7
乙班 8.5 8 10 1.6
(2)從平均數看，甲、乙班成績一樣;
從中位數看，甲班成績好;
從眾數看，乙班成績好;
從方差看，甲班成績穩定.
22.(7分)如圖，函數y=﹣ x+2的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，與函數y=kx(k為常數)的圖象交于點E，以BE、OE為鄰邊的平行四邊形是菱形.
(1)求k;
(2)過點B作y軸的垂線，交函數y=kx的圖象于點C，四邊形OACB是矩形嗎?為什么?
【分析】(1)由題意可得A，B坐標，由BE=OE，可證AE=BE=OE，可求E點坐標，再代入解析式可求k
(2)根據平行線分線段成比例可得OE=EC，可證OACB是平行四邊形，且∠AOB=90°可得OACB是矩形
【解答】∵函數y=﹣ x+2的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B
∴A(6，0)，B(0，2)
∴BO=2，AO=6
∵OE，BE是菱形的邊
∴BE=OE
∴∠ABO=∠BOE
∵∠AOB=90°
∴∠ABO+∠BAO=90°，∠BOE+∠AOE=90°
∴∠BAO=∠AOE
∴OE=AE
∴AE=BE
作EM⊥AO，作ED⊥BO
∴EM∥BO，DE∥AO
∴ ，
∴ME=1，DE=3
∴E(3，1)
∵y=kx的圖象過E點
∴1=3k
∴k=
∴解析式y= x
(2)是矩形.
∵BC⊥y軸，AO⊥y軸
∴BC∥AO
∴
∴OE=CE，且AE=BE
∴ACBO是平行四邊形且∠AOB=90°
∴四邊形ACBO是矩形.
五、解答題白(本大題3小題，每小題9分，共27分)
23.(9分)如圖，AD是△ABC的邊BC的中線，E是AD的中點，過點A作AF∥BC，交BE的延長線于點F，連接CF，BF交AC于G.
(1)若四邊形ADCF是菱形，試證明△ABC是直角三角形;
(2)求證：CG=2AG.
【分析】(1)由菱形定義及AD是△ABC的中線知AD=DC=BD，從而得∠DBA=∠DAB、∠DAC=∠DCA，根據∠DBA+∠DAC+∠DBA+∠DCA=180°可得答案.
(2)作DM∥EG交AC于點M，分別證DM是△BCG的中位線和EG是△ADM的中位線得AG=GM=CM，從而得出答案.
【解答】(1)∵四邊形ADCF是菱形，AD是△ABC的中線，
∴AD=DC=BD，
∴∠DBA=∠DAB、∠DAC=∠DCA，
∵∠DBA+∠DAC+∠DBA+∠DCA=180°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∴△ABC是直角三角形;
(2)過點D作DM∥EG交AC于點M，
∵AD是△ABC的邊BC的中線，
∴BD=DC，
∵DM∥EG，
∴DM是△BCG的中位線，
∴M是CG的中點，
∴CM=MG，
∵DM∥EG，E是AD的中點，
∴EG是△ADM的中位線，
∴G是AM的中點，
∴AG=MG，
∴CG=2AG.
24.(9分)某市為節約水資源，制定了新的居民用水收費標準.按照新標準，用戶每月繳納的水費y(元)與每月用水量x(m3)之間的關系如圖所示.
(1)求y關于x的函數解析式;
(2)已知某用戶四、五月份共用水40m3
①若該用戶這兩個月共繳納水費79.8元，且五月份用水量較大，則該用戶五月份用水多少m3?
②該用戶這兩個月共需繳納水費至少 78 元.
【分析】(1)根據函數圖象中的數據可以分別求得各段對應的函數解析式;
(2)①根據(1)中的函數解析式和題意可以解答本題;
②根據題意和函數圖象可知當四月份用水15m3時，該用戶這兩個月共需繳納水費最少.
【解答】(1)當0≤x≤15時，設y與x的函數關系式為y=kx，
15k=27，得k=1.8，
即當0≤x≤15時，y與x的函數關系式為y=1.8x，
當x>15時，設y與x的函數關系式為y=ax+b，
，得 ，
即當x>15時，y與x的函數關系式為y=2.4x﹣9，
由上可得，y= ;
(2)①設四月份用水xm3，
當0≤x≤15時，1.8x+2.4(40﹣x)﹣9=79.8，
解得，x=12，
∴40﹣x=28，
當15
∵2.4×40﹣9=87≠79.8，
∴該種情況不存在，
答：五月份用水28m3;
②由題意可得，
當四月份用水15m3時，這兩個月共需繳納水費最少，
此時水費為：1.8×15+2.4×(40﹣15)﹣9=78(元)，
故答案為：78.
25.(9分)如圖，在正方形ABCD中，AB=4，P是CD邊上的動點(P點不與C、D重合)，過點P作直線與BC的延長線交于點E，與AD交于點F，且CP=CE，連接DE、BP、BF，設CP=x，△PBF的面積為S1，△PDE的面積為S2
(1)求證：BP⊥DE;
(2)求S1﹣S2關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍;
(3)當∠PBF=30°時，求S1﹣S2的值.
【分析】(1)如圖1中，延長BP交DE于M.只要證明△BCP≌△DCE，推出∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°，延長即可解決問題;
(2)根據S1﹣S2=S△PBF﹣S△PDE計算即可解決問題;
(3)先求出PC的長，再利用(2)中結論計算即可;
【解答】(1)如圖1中，延長BP交DE于M.
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，
∵CP=CE，
∴△BCP≌△DCE，
∴∠BCP=∠CDE，
∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，
∴∠CDE+∠DPM=90°，
∴∠DMP=90°，
∴BP⊥DE.
(2)由題意S1﹣S2=[16﹣2x﹣2x﹣ (4﹣x)2]﹣ •(4﹣x)•x
=8﹣2x(0
(3)如圖2中，∵∠PBF=30°，
∵CP=CE，∠DCE=90°，
∴∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，
∴∠PFD=∠DPF=45°，
∴DF=DP，∵AD=CD，
∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，
∴△BAF≌△BCP，
∴∠ABF=∠CBP=30°，
∴x=PC=BC•tan30°= ，
∴S1﹣S2=8﹣2x=8﹣
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