數學教育改革開放題熱點

　　一、數學開放題

　　開放題是相對封閉題而言的，傳統的數學題條件完備，結論確定，這類題稱之為封閉題.解封閉題一般是為了找出確定的答案.條件不完備、結論不在確定的習題稱之為開放題.開放題有時只有給出一種情境，題目的條件和結論，都要求主體在情境中自行尋找和設定.解開放題常常沒有現成的可以遵循的模式，得出的答案也有多種多樣.

　　一個典型的封閉題與開放題如下：

　　封閉題：試求下列兩個整式的最大公因式：

　　顯然，對其共同點，學生可以從不同的角度來進行考察，所以結論也是多種多樣的，這就是一個典型的開放題.

　　二、數學開放題的產生

　　數學開放題在數學教學中的重要地位的確立，及其對數學開放題比較深入系統的研究，始于二十世紀八十年代.

　　數學教學最早被理解為傳授知識，在這種理解下，過去偏重演繹論證的訓練，注重灌輸現成的知識，教師布置的問題，都是封閉型的，學習的主要方法是模仿，解題實質上就是“對號入座”，這種教育培養的是知識型的人才.

　　20世紀60年代，數學教育界通過對新數學運動的反思，提出了“回到基礎”的口號，我國數學教育也在重視基礎的前提下，提出了培養三大能力.數學教育觀念完成了從傳授知識到傳授知識培養能力的轉變.

　　在對數學教育的深層結構的反思過程中，“問題解決”理論尤為突出，它成為“衡量出個人和民族具有數學能力的效果”的標準，而在問題解決中，開放題就是一種極富教育價值問題類型.

　　此時，我國的數學教育為了適應社會主義經濟建設的飛速發展，更加注重了在教學中滲透數學思想方法，培養數學觀念和良好的個性品質，正在由“應試教育”向“素質教育”的轉化，培養全面發展的開拓性人才.在這種要求下，傳統的封閉型數學問題不能完全滿足對學生思維能力的訓練，更不能完全滿足培養學生良好思維品質的需要，開放型問題隨之產生，進入了中考、高考試卷和課堂教學.

　　數學開放題在日、美等國得到比較深入的研究.日本數學教育家開發了一種稱之為“開放式結尾”(open-end)的題目，從1971年開始，以島田茂為首的一個日本數學教育學者小組，進行了頗有特色的研究，1977年他們發表了名為《算術、數學課的開放式結尾的問題--改善教學的新方案》的報告文集，該小組的成員之一筑波大學教授能田伸彥認為：開放題“能夠讓學生了解問題的主題材料，而問題并沒有唯一正確的解答，因此就向學生提供了用他們所最喜歡的解決問題的方法的機會.”國際數學教育委員會(ICMI)的一個文件指出：“培養學生對數學的積極態度是中小學數學的一個共同目的，幫助學生體驗這種智力的歡樂是達到目的的一種手段.然而實際上任何學校這種歡樂都是很有限的.也許在數學課堂更多地進行沒有固定答案的研討的趨勢，將會使更多的學生首次體驗到科學女皇賦予該學科的美感.”

　　三、數學開放題的基本類型

　　是相對于傳統的“條件完備，結論明確”的封閉性問題而言的，開放題中可能是所提供的條件不完備，需要在求解過程中不斷充實和增添假設，它的結論或結果一般因人而異、豐富多彩.數學開放題有以下幾種類型.

　　1.給出條件，沒有給出明確結論，或者結論不確定，需要解題者探索出結論，并加以證明.

　　例如 要把一張面值1元的人民幣換成零錢，現有足夠多的面值5角、2角、1角的人民幣，請設計兌換方法.

　　2.給出了結論，沒有給出條件或條件不完備，需要解題者分析出應具備的條件，并加以計算或證明.

　　例如 有一塊長方形的空地，長50米、寬30米，現在要在這塊空地上建造一個花園，使種花草部分的面積占這塊空地面積的三分之二，問該怎樣設計花園建造方案?

　　3.改變已知問題的條件，探討結論相應地會發生什么變化，或者改變已知問題的結論，探討條件相應地會發生什么變化.

　　例如 在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E為AD的中 點，延長BE交AC于F點，求AF與FC的關系(如圖1).

　　引申1 在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E為AD上的 點，延長BE交AC于F點，若AE∶ED=m∶n，求AF∶FC的值.

　　引申2 在△ABC中，D為BC上的點，E為AD上的點， 延長BE交AC于F點，且BD∶CD=a∶b,AE∶ED=m∶n，求AF∶FC的值.

　　4.從實際問題出發，給出一些數據，經過對數據的分析，建立數學模型，從而解決問題.

　　例 比較下面兩列算式的結果的大?。?在橫線上選填">"、"<""=")

　　通過觀察、歸納，寫出能反映這種規律的一般結論，并加以證明.

　　四、數學開放題的特征

　　1.問題本身常常是不確定和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描述的，主體必須搜集其他必要的信息，才能著手解題;

　　2.沒有現成的解題模式，有些答案可能易于直覺地發現，但是在求解過程中往往需要從多個角度進行思考和探索;

　　3.有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而于尋求解答的過程中主體的認知結構和重建;

　　4.常常通過實際問題提出，主體必須用數學語言將其數學化，也就是建立數學模型;

　　5.在求解過程中往往可以引出新的問題，或將問題加以推廣，找出更一般、更有概括的結論;

　　6.能激起多數學生的好奇心，全體學生都可以參與解答過程，而不管他是屬于何種程度和水平;

　　7.教師難以用注入式進行教學，學生能自然地處于一和主動參與的位置，教師在解題過程中的地位是示范者、啟發者、鼓勵者、咨詢者和指導者.